Sådan løses uligheder i absolut værdi

Løsning af ulighed i absolut værdi er meget som at løse ligninger med absolut værdi, men der er et par ekstra detaljer at huske på. Det hjælper med at allerede være komfortabel med at løse ligninger med absolut værdi, men det er okay, hvis du også lærer dem sammen!
Definition af Absolute Value Inequality -

For det første er en absolut værdi-ulighed en ulighed, der involverer et absolut værdiudtryk. For eksempel

|

 5 + x
|

 - 10> 6 er en absolut værdi-ulighed, fordi den har et ulighedstegn,> og et absolut værdiudtryk, |

 5 + x
|

.
Sådan løses en absolut værdi-ulighed

Trinnene til at løse en absolut værdi-ulighed er meget som trinnene til løsning af en ligeværdi med absolut værdi:

Trin 1: Isoler den absolutte værdi udtryk på den ene side af uligheden.

Trin 2: Løs den positive "version" af uligheden.

Trin 3: Løs den negative "version" af uligheden ved at multiplicere mængden på den anden side af uligheden ved at −1 og vende ulighedstegnet.

Det er meget at tage ind på én gang, så her er et eksempel, der fører dig gennem trinnene.

Løs uligheden for x
: |

 5 + 5_x_ |

 - 3> 2.

1. Isoler ekspressionen af den absolutte værdi
   
   

   For at gøre dette, få |

    5 + 5_x_ |

    i sig selv på venstre side af uligheden. Alt hvad du skal gøre er at tilføje 3 til hver side:
   

   |

    5 + 5_x_ |

    - 3 (+ 3)> 2 (+ 3)
   

   |

    5 + 5_x_ |

    > 5.
   

   Nu er der to "versioner" af den ulighed, vi har brug for at løse: den positive "version" og den negative "version."
   

2. Løs den positive "version" af uligheden
   
   

   For dette trin antager vi, at tingene er som de ser ud: at 5 + 5_x_> 5.
   

   |

    5 + 5_x_ |

    > 5 → 5 + 5_x_> 5.
   

   Dette er en simpel ulighed; du skal bare løse for x
   som sædvanligt. Træk 5 fra begge sider, og del derefter derefter begge sider med 5.
   

   5 + 5_x_> 5
   

   5 + 5_x_ (- 5)> 5 (- 5) (træk fem fra begge sider)
   

   5_x_> 0
   

   5_x_ (÷ 5)> 0 (÷ 5) (del begge sider med fem)
   

   x
   > 0.
   

   Ikke dårligt! Så en mulig løsning på vores ulighed er, at x
   > 0. Da der er absolutte værdier involveret, er det på tide at overveje en anden mulighed.
   

3. Løs den negative "version" af uligheden
   
   

   For at forstå denne næste bit hjælper det med at huske, hvad absolut værdi betyder. Den absolutte værdi måler et tals afstand fra nul. Afstanden er altid positiv, så 9 er ni enheder væk fra nul, men −9 er også ni enheder væk fra nul.
   

   Så |

    9 |

    \u003d 9, men |

    −9 |

    \u003d 9 også.
   

   Nu tilbage til problemet ovenfor. Ovenstående arbejde viste, at |

    5 + 5_x_ |

    > 5; med andre ord, den absolutte værdi af "noget" er større end fem. Nu vil ethvert positivt antal større end fem være længere væk fra nul end fem er. "noget", 5 + 5_x_, er større end 5.
   

   Det vil sige: 5 + 5_x_> 5.
   

   Det er det scenarie, der er behandlet ovenfor, i trin 2.
   

   Tænk nu lidt videre. Hvad ellers er fem enheder væk fra nul? Nå, negativ fem er. Og alt længere langs talelinjen fra negativ fem vil være endnu længere væk fra nul. Så vores "noget" kan være et negativt tal, der er længere væk fra nul end negativ fem. Det betyder, at det ville være et større klingende nummer, men teknisk mindre end
   negative fem, fordi det bevæger sig i den negative retning på talelinjen.
   

   Så vores "noget", 5 + 5x , kunne være mindre end −5.
   

   5 + 5_x_ <−5
   

   Den hurtige måde at gøre dette algebraisk på er at multiplicere mængden på den anden side af uligheden, 5, med negativ en, vend derefter ulighedstegnet:
   

   |

    5 + 5x |

    > 5 → 5 + 5_x_ <- 5
   

   Løs derefter som normalt.
   

   5 + 5_x_ <-5
   

   5 + 5_x_ (−5) <−5 (- 5) (trække 5 fra begge sider)
   

   5_x_ <−10
   

   5_x_ (÷ 5) <−10 (÷ 5)
   

   x
   <−2.
   

   Så de to mulige løsninger på uligheden er x
   > 0 eller x
   <−2. Kontroller dig selv ved at tilslutte et par mulige løsninger for at sikre dig, at uligheden stadig gælder.
   
   Absolutte værdier Uligheder uden løsning.

   Der er et scenario, hvor der ikke ville være nogen løsninger på en absolut værdi ulighed. Da absolutte værdier altid er positive, kan de ikke være lig med eller mindre end negative tal.
   

   Så |

     x
   |

    <−2 har ingen løsning
   fordi resultatet af et absolut værdiudtryk skal være positivt.
   Interval Notation
   

   For at skrive løsningen til vores vigtigste eksempel i intervalnotation, skal du tænke på hvordan løsningen ser ud på talelinjen. Vores løsning var x
   > 0 eller x
   <−2. På en talelinje er det en åben prik ved 0 med en linje, der strækker sig ud til positiv uendelig, og en åben prik på −2, med en linje, der strækker sig væk til negativ uendelig. Disse løsninger peger væk fra hinanden, ikke mod hinanden, så tag hvert stykke separat.
   

   For x> 0 på en talelinje er der en åben prik på nul og derefter en linje, der strækker sig ud til uendelig. I intervallotation illustreres en åben prik med parenteser, (), og en lukket prik, eller uligheder med ≥ eller ≤, ville bruge parenteser, []. Så for x
   > 0, skriv (0, ∞).
   

   Den anden halvdel, x
   <−2, på en talelinje er en åben prik ved - 2 og derefter en pil, der strækker sig helt til −∞. I intervallotation er det (−∞, −2).
   

   "Eller" i intervallnotation er unionstegnet, ∪.
   

   Så løsningen i intervallnotation er (−∞, - 2) ∪ (0, ∞).