Sådan finder du en funktions domæne

Når du først begynder at lære om funktioner, er du muligvis nødt til at betragte dem som en maskine: Du indtaster en værdi, x
, i funktionen, og når den først er behandlet gennem maskinen, en anden værdi - lad os kalder det y
- dukker det langt ud. Området med mulige x
input, der kan komme gennem maskinen for at returnere en gyldig output kaldes funktionens domæne. Så hvis du bliver bedt om at finde domænet til en funktion, skal du virkelig finde ud af, hvilke mulige input der vil returnere en gyldig output.
Strategien for at finde domæne

Hvis du bare lærer om funktioner og domæner antages det normalt, at en funktions domæne er "alle reelle tal." Så når du vil definere domænet, er det ofte nemmest at bruge din viden om matematik - især algebra - til at bestemme, hvilke numre der ikke er gyldige medlemmer af domænet. Så når du ser instruktionerne "find domænet", er det ofte nemmest at læse dem i dit hoved som "finde og fjerne alle numre, som ikke kan være i domænet."

I de fleste tilfælde afhænger dette af at kontrollere (og eliminere) potentielle input, der vil medføre, at brøkdele bliver udefinerede, eller har 0 i deres nævner, og søger efter potentielle input, der vil give dig negative tal under et kvadratisk rodtegn.
Et eksempel på at finde domæne

Overvej funktionen f
( x
) \u003d
3 /( x
- 2 ), hvilket virkelig betyder, at ethvert tal, du indtaster, bliver plukket ned i stedet for x
på højre side af ligningen. Hvis du for eksempel beregner f
(4), ville du have f
(4) \u003d 3 /(4 - 2), hvilket fungerer til 3/2.

Men hvad nu hvis du beregnet f
(2) eller med andre ord input 2 i stedet for x
? Så ville du have f
(2) \u003d 3 /(2 - 2), som forenkles til 3/0, hvilket er en udefineret brøkdel.

Dette illustrerer et af to almindelige tilfælde der kan udelukke et tal fra domænet for en funktion. Hvis der er en brøkdel involveret, og input vil medføre, at nævneren til denne brøk er nul, skal inputen udelukkes fra funktionens domæne.

En lille undersøgelse viser dig, at absolut ethvert tal undtagen
2 returnerer et gyldigt (hvis nogle gange rodet) resultat for den pågældende funktion, så domænet til denne funktion er alle numre undtagen 2. 2. Et andet eksempel på at finde domæne

Der er et anden almindelig instans, der udelukker mulige medlemmer af en funktions domæne: At have en negativ mængde under et firkantet rodtegn, eller enhver radikal med et jævnt indeks. Overvej eksemplefunktionen f
( x
) \u003d √ (5 - x
).

Hvis x
≤ 5 , vil mængden under radikaltegnet være enten 0 eller positiv, og returnere et gyldigt resultat. For eksempel, hvis x
\u003d 4.5, ville du have f
(4.5) \u003d √ (5 - 4.5) \u003d √ (.5), som, selv om det er rodet, stadig returnerer et gyldigt resultat . Og hvis x
\u003d -10 ville du have f
(4.5) \u003d √ (5 - (-10)) \u003d √ (5 + 10) \u003d √ (15 hvilket igen , returnerer et gyldigt, hvis rodet resultat.

Men forestil dig, at x
\u003d 5.1. I det øjeblik, du vælter skillelinjen mellem 5 og et hvilket som helst antal større end det, ender du med en negativ nummer under radikalen:

f
(5.1) \u003d √ (5 - 5.1) \u003d √ (-. 1)

Meget senere i din matematikkarriere, du ' Jeg lærer at give mening om negative firkantede rødder ved hjælp af et koncept kaldet imaginære tal eller komplekse tal. Men indtil videre udelukker det at have et negativt tal under det radikale tegn, at input som et gyldigt medlem af funktionens domæne.

Så i dette tilfælde, fordi ethvert tal x
≤ 5 returnerer et gyldigt resultat for denne funktion, og ethvert tal x
> 5 returnerer et ugyldigt resultat, er domænet for funktionen alle tal x
≤ 5.