Tip til løsning af kvadratiske ligninger

Hver algebra-studerende på højere niveauer skal lære at løse kvadratiske ligninger. Dette er en type polynom ligning, der inkluderer en styrke på 2, men ingen højere, og de har den generelle form: aks og <sup>2 + bx
+ c
\u003d 0. Du kan løse disse ved at bruge den kvadratiske ligningsformel, ved at faktorisere eller ved at udfylde firkanten.</sup>

TL; DR (for lang; læste ikke)

Se først efter en faktorisering for at løse ligningen. Hvis der ikke er én, men b
-koefficienten kan deles med 2, skal du udfylde firkanten. Hvis ingen af fremgangsmåderne er lette, skal du bruge den kvadratiske ligningsformel.
Brug af faktorisering til at løse ligningen

Faktorisering udnytter det faktum, at højre side af den kvadratiske standard ligning er lig med nul. Dette betyder, at hvis du kan dele ligningen op i to termer i parentes ganget med hinanden, kan du finde frem til løsningen ved at tænke over, hvad der ville gøre hver konsol lig med nul. Sådan giver du et konkret eksempel:

x

^{2 + 6_x_ + 9 \u003d 0}

Sammenlign dette med standardformularen:

øks

<sup>2 + bx
+ c
\u003d 0</sup>

I eksemplet < em> a
\u003d 1, b
\u003d 6 og c
\u003d 9. Udfordringen ved at faktorisere er at finde to numre, der tilføjes sammen for at give tallet i b
spot og multiplicer sammen for at få tallet på stedet for c
.

Så repræsenterer tallene med d
og e
, leder du efter tal, der tilfredsstiller:

d
+ e
\u003d b

Eller i dette tilfælde, med b
\u003d 6:

d
+ e
\u003d 6

Og

d
× e
\u003d c

Eller i dette tilfælde med c
\u003d 9:

d
× e
\u003d 9

Fokus på at finde tal, der er faktorer for c
, og tilføj dem derefter sammen for at se, om de er lig med b
. Når du har dine numre, skal du placere dem i følgende format:

( x
+ d
) ( x
+ e
)

I ovenstående eksempel er både d
og e
3:

x

<sup>2 + 6_x_ + 9 \u003d ( x
+ 3) ( x
+ 3) \u003d 0</sup>

Hvis du multiplicerer parenteserne, Jeg ender med det originale udtryk igen, og det er god praksis at kontrollere din faktorisering. Du kan køre gennem denne proces (ved at multiplicere de første, indre, ydre og derefter sidste dele af parenteserne efter tur - se Ressourcer for mere detaljer) for at se den modsat:

( x
+ 3) ( x
+ 3) \u003d ( x
× x
) + (3 × x
) + ( x
× 3) + (3 × 3)

\u003d x
^{2 + 3_x_ + 3_x_ + 9}

\u003d x

^{2 + 6_x_ + 9}

Faktorisering kører effektivt gennem denne proces omvendt, men det kan være udfordrende at finde frem til den rigtige måde at faktorere den kvadratiske ligning, og dette af denne grund er metoden ikke ideel til enhver kvadratisk ligning. Ofte er du nødt til at gætte på en faktorisering og derefter kontrollere den.

Problemet er nu at få et af udtrykkene i parentes til at blive lig med nul gennem dit valg af værdi for x
. Hvis hver af parenteserne er lig med nul, er hele ligningen lig med nul, og du har fundet en løsning. Se på det sidste trin [( x
+ 3) ( x
+ 3) \u003d 0], og du vil se, at den eneste gang parenteserne kommer til nul, er hvis x
\u003d −3. I de fleste tilfælde har kvadratiske ligninger imidlertid to løsninger.

Faktorisering er endnu mere udfordrende, hvis a
ikke er lig med en, men at fokusere på enkle sager er bedre i starten.
Fuldfør kvadratet for at løse ligningen

At afslutte kvadratet hjælper dig med at løse kvadratiske ligninger, der ikke let kan faktoriseres. Denne metode kan fungere til enhver kvadratisk ligning, men nogle ligninger passer den mere end andre. Metoden involverer at gøre udtrykket til et perfekt firkant og løse det. En generisk perfekt firkant udvides således:

( x
+ d
) ^{2 \u003d x
2 + 2_dx_ + d
2}

For at løse en kvadratisk ligning ved at udfylde kvadratet, få udtrykket i formen til højre for ovenstående. Del først tallet i b
position med 2, og firkant derefter resultatet. Så for ligningen:

x

^{2 + 8_x_ \u003d 0}

Koefficienten b
\u003d 8, så b
÷ 2 \u003d 4 og ( b
÷ 2) ^{2 \u003d 16.}

Tilføj til begge sider for at få:

x

^{2 + 8_x_ + 16 \u003d 16}

Bemærk, at denne form passer til den perfekte firkantede form med d
\u003d 4, så 2_d_ \u003d 8 og d
^{2 \u003d 16. Dette betyder, at:}

x

<sup>2 + 8_x_ + 16 \u003d ( x
+ 4) 2</sup>

Indsæt dette i den forrige ligning for at få:

( x
+ 4) ^{2 \u003d 16}

Løs nu ligningen for x
. Tag firkantroden fra begge sider for at få:

x

+ 4 \u003d √16

Trækk 4 fra begge sider for at få:

x

\u003d √ (16) - 4

Roden kan være positiv eller negativ, og at tage den negative rod giver:

x

\u003d −4 - 4 \u003d −8

Find den anden løsning med den positive rod:

x

\u003d 4 - 4 \u003d 0

Derfor er den eneste løsning, der ikke er nul, −8. Kontroller dette med det originale udtryk for at bekræfte.
Brug af kvadratisk formel til at løse ligningen

Den kvadratiske ligningsformel ser mere kompliceret ud end de andre metoder, men det er den mest pålidelige metode, og du kan bruge den "on any quadratic equation.", 3, [[Ligningen bruger symbolerne fra standard kvadratisk ligning:

øks

<sup>2 + bx
+ c
\u003d 0</sup>

Og siger, at:

x

\u003d [- b

± √ ( b
^{2 - 4_ac_)] ÷ 2_a_}

Indsæt de relevante tal på deres placeringer, og arbejd gennem formlen til at løse, husk at prøve både at trække fra og tilføje firkantet rodterm og bemærk begge svar. For følgende eksempel:

x

^{2 + 6_x_ + 5 \u003d 0}

Du har a
\u003d 1, b
\u003d 6 og c
\u003d 5. Så formlen giver:

x

\u003d [−6 ± √ (6 ^{2 - 4 × 1 × 5)] ÷ 2 × 1}

\u003d [−6 ± √ (36 - 20)] ÷ 2

\u003d [−6 ± √ (16)] ÷ 2

\u003d (−6 ± 4) ÷ 2

At tage det positive tegn giver:

x

\u003d (−6 + 4) ÷ 2

\u003d −2 ÷ 2 \u003d −1

Og at tage det negative tegn giver:

x
\u003d (−6 - 4) ÷ 2

\u003d −10 ÷ 2 \u003d −5

Hvilke er de to løsninger til ligningen.
Sådan fastlægges den bedste metode at løse kvadratiske ligninger -

Se efter en faktorisering, før du prøver noget andet. Hvis du kan se en, er dette den hurtigste og nemmeste måde at løse en kvadratisk ligning på. Husk, at du leder efter to numre, der summerer til b
-koefficienten og multiplicer for at give c
-koefficienten. For denne ligning:

x

^{2 + 5_x_ + 6 \u003d 0}

Du kan se, at 2 + 3 \u003d 5 og 2 × 3 \u003d 6, så:

x

<sup>2 + 5_x_ + 6 \u003d ( x
+ 2) ( x
+ 3) \u003d 0</sup>

Og x
\u003d −2 eller x
\u003d −3.

Hvis du ikke kan se en faktorisering, skal du kontrollere, om b
-koefficienten kan deles med 2 uden at ty til fraktioner. Hvis det er tilfældet, er det sandsynligvis den nemmeste måde at løse ligningen på at udfylde firkanten.

Hvis ingen af fremgangsmåderne synes passende, skal du bruge formlen. Dette ser ud som den sværeste tilgang, men hvis du er i en eksamen eller på anden måde skubbet til tid, kan det gøre processen meget mindre stressende og meget hurtigere.