Kinematiske ligninger: Hvornår og hvordan man bruger hver formel (w /derivations)

Nogle gange er mængden x _{f - x i
er skrevet}

Δx
, hvilket betyder "ændringen i x
" eller endda blot som d
, hvilket betyder forskydning. Alle er ækvivalente. Position, hastighed og acceleration er vektormængder, hvilket betyder, at de har retning forbundet med dem. I en dimension er retning typisk angivet med tegn - positive mængder er i den positive retning og negative mængder i den negative retning.
-underskrifter: "0" kan bruges til startposition og hastighed i stedet for i
. Denne "0" betyder "ved t
\u003d 0," og x <sub>0
og v 0
udtrykkes typisk "x-intet" og "intet." * Kun en af ligningerne inkluderer ikke tid. Når du skriver udgaver og bestemmer, hvilken ligning der skal bruges, er dette nøglen!


Et specialtilfælde: Frit fald</sub>

Bevægelse med frit fald er bevægelsen af et objekt, der accelererer på grund af tyngdekraften De samme kinematiske ligninger gælder; dog er accelerationsværdien nær Jordens overflade kendt. Størrelsen af denne acceleration er ofte repræsenteret af g
, hvor g \u003d 9,8 m /s ^{2. Retningen på denne acceleration er nedad, mod Jordens overflade. (Bemærk, at nogle kilder muligvis kan tilnærme g
som 10 m /s 2, og andre kan bruge en værdi, der er nøjagtig til mere end to decimaler.)
Problemløsningstrategi for kinematikproblemer i én dimension:}

Skits et diagram over situationen og vælg et passende koordinatsystem. (Husk, at x
, v
og a
alle er vektormængder, så ved at tildele en klar positiv retning, vil det være lettere at holde styr på tegn.)


Skriv en liste over kendte mængder. (Vær opmærksom på, at de kendte undertiden ikke er indlysende. Se efter sætninger som "starter fra hvile", hvilket betyder at v _{i
\u003d 0, eller "rammer jorden", hvilket betyder at x f
\u003d 0 osv.)}


Bestem, hvilken mængde spørgsmålet vil have dig til at finde. Hvad er det ukendte, du vil løse for?


Vælg den passende kinematiske ligning. Dette vil være ligningen, der indeholder din ukendte mængde sammen med kendte mængder.


Løs ligningen for den ukendte mængde, sæt derefter kendte værdier i, og bereg det endelige svar. (Vær forsigtig med enheder! Nogle gange bliver du nødt til at konvertere enheder før computing.)

Eksempler på en-dimensionel kinematik


Eksempel 1: En annonce hævder, at en sportsbil kan gå fra 0 til 60 km /h på 2,7 sekunder. Hvad er accelerationen for denne bil i m /s ^{2? Hvor langt kører det i løbet af disse 2,7 sekunder?}


Løsning:


(Indsæt billede 2)


Kendte og ukendte mængder:
v_i \u003d 0 \\ text {mph } \\\\ v_f \u003d 60 \\ text {mph} \\\\ t \u003d 2.7 \\ text {s} \\\\ x_i \u003d 0 \\\\ a \u003d \\ text {?} \\\\ x_f \u003d \\ text {?}

Den første del af spørgsmålet kræver løsning for den ukendte acceleration. Her kan vi bruge ligning nr. 1:
v_f \u003d v_i + at \\ implicerer a \u003d \\ frac {(v_f-v_i)} t

Før vi tilslutter tal, skal vi dog konvertere 60 km /h til m /s:
60 \\ annullere {\\ text {mph}} \\ Bigg (\\ frac {0.477 \\ text {m /s}} {\\ annuller {\\ text {mph}}} \\ Bigg) \u003d 26.8 \\ text {m /s}

Så accelerationen er så:
a \u003d \\ frac {(26.8-0)} {2.7} \u003d \\ understreg {\\ bold {9.93} \\ text {m /s} ^ 2}

For at finde hvor langt det går i den tid, kan vi bruge ligning nr. 2:
x_f \u003d x_i + v_it + \\ frac 1 2 ved ^ 2 \u003d \\ frac 1 2 \\ gange 9.93 \\ gange 2.7 ^ 2 \u003d \\ understregning {\\ bold {36.2} \\ text {m}}

Eksempel 2: En kugle kastes op med en hastighed på 15 m /s fra en højde på 1,5 m. Hvor hurtigt går det, når det rammer jorden? Hvor lang tid tager det at ramme jorden?


Løsning:


(Indsæt billede 3)


Kendte og ukendte mængder:
x_i \u003d 1.5 \\ text {m } \\\\ x_f \u003d 0 \\ tekst {m} \\\\ v_i \u003d 15 \\ tekst {m /s} \\\\ a \u003d -9.8 \\ text {m /s} ^ 2 \\\\ v_f \u003d? \\\\ t \u003d?

For at løse den første del kan vi bruge ligning nr. 3:
(v_f) ^ 2 \u003d (v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i) \\ implicerer v_f \u003d \\ pm \\ sqrt {(v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i)}

Alt er allerede i ensartede enheder, så vi kan tilslutte værdier:
v_f \u003d \\ pm \\ sqrt {15 ^ 2 + 2 (-9.8) (0-1.5) } \u003d \\ pm \\ sqrt {254.4} \\ approx \\ pm16 \\ text {m /s}

Der er to løsninger her. Hvilken er korrekt? Fra vores diagram kan vi se, at den endelige hastighed skal være negativ. Så svaret er:
v_f \u003d \\ understreg {\\ bold {-16} \\ tekst {m /s}}

For at løse tid, kan vi bruge ligning # 1 eller ligning # 2. Da ligning nr. 1 er enklere at arbejde med, bruger vi den:
v_f \u003d v_i + at \\ implicerer t \u003d \\ frac {(v_f-v_i)} {a} \u003d \\ frac {(-16-15) } {- 9.8} \\ ca. \\ understreg {\\ bold {3.2} \\ tekst {s}}

Bemærk, at svaret på den første del af dette spørgsmål ikke var 0 m /s. Selvom det er rigtigt, at når bolden lander, vil den have 0 hastighed, vil dette spørgsmål vide, hvor hurtigt den går i det delte sekund inden påvirkningen. Når kuglen kommer i kontakt med jorden, gælder vores kinematiske ligninger ikke længere, fordi accelerationen ikke vil være konstant.
Kinematiske ligninger for projektilbevægelse (to dimensioner)


Et projektil er et objekt, der bevæger sig i to dimensioner under påvirkningen af Jordens tyngdekraft. Dens vej er en parabola, fordi den eneste acceleration skyldes tyngdekraften. De kinematiske ligninger for projektilbevægelse har en lidt anden form end de kinematiske ligninger, der er anført ovenfor. Vi bruger det faktum, at bevægelseskomponenter, der er vinkelret på hinanden - som den vandrette x
retning og den lodrette y
retning - er uafhængige.
Problem Solving Strategy for Projectile Motion Kinematikproblemer:


Tegn et diagram over situationen. Ligesom med en-dimensionel bevægelse, er det nyttigt at tegne scenariet og angive koordinatsystemet. I stedet for at bruge etiketterne x
, v
og a
til position, hastighed og acceleration, har vi brug for en måde at mærke bevægelsen i hver dimension separat.


For den vandrette retning er det mest almindeligt at bruge x
til position og v _{x
til x-komponenten med hastighed (bemærk, at acceleration er 0 i dette retning, så vi har ikke brug for en variabel til den.) I y
retning er det mest almindeligt at bruge y
til position og v y
for y-komponenten af hastighed. Acceleration kan enten mærkes a y
, eller vi kan bruge det faktum, at vi ved, at accelerationen på grund af tyngdekraften er g
i negativ y-retning, og bare bruge den i stedet .}


Skriv en liste over kendte og ukendte mængder ved at opdele problemet i to sektioner: lodret og vandret bevægelse. Brug trigonometri til at finde x- og y-komponenterne i alle vektormængder, der ikke ligger langs en akse. Det kan være nyttigt at liste dette op i to kolonner:


(indsæt tabel 1)


Bemærk: Hvis hastighed er angivet som en størrelse sammen med en vinkel, Ѳ
, over vandret, brug derefter vektornedbrydning, v _{x \u003d vcos (Ѳ)
og v y \u003d vsin (Ѳ)
.}


Vi kan overveje vores tre kinematiske ligninger fra før og tilpasse dem til henholdsvis x- og y-retningen.


X-retning:
x_f \u003d x_i + v_xt

Y-retning:
v_ {yf} \u003d v_ {yi} -gt \\\\ y_f \u003d y_i + v_ {yi} t- \\ frac 1 2 gt ^ 2 \\\\ (v_ {yf}) ^ 2 \u003d (v_ {yi}) ^ 2-2g (y_f - y_i)

Bemærk, at accelerationen i y
retning er -g, hvis vi antager, at det er positivt. En almindelig misforståelse er, at g \u003d -9,8 m /s ^{2, men dette er forkert; g
i sig selv er simpelthen størrelsen af accelerationen: g \u003d 9,8 m /s 2, så vi er nødt til at specificere, at accelerationen er negativ.}


Løs for en ukendt i en af disse dimensioner, og tilslut derefter det, der er fælles på tværs af begge retninger. Mens bevægelsen i de to dimensioner er uafhængig, sker den på samme tidsskala, så tidsvariablen er den samme i begge dimensioner. (Den tid det tager bolden at gennemgå sin lodrette bevægelse er den samme som den tid det tager at gennemgå sin vandrette bevægelse.)

Projektil bevægelse kinematik Eksempler


Eksempel 1: Et projektil løftes vandret fra en klippe med en højde på 20 m med en starthastighed på 50 m /s. Hvor lang tid tager det at ramme jorden? Hvor langt fra bunden af klippen lander den?


(indsæt billede 4)


Kendte og ukendte mængder:


(indsæt tabel 2)


Vi kan finde den tid det tager at ramme jorden ved at bruge den anden lodrette bevægelsesligning:
y_f \u003d y_i + v_ {yi} t- \\ frac 1 2 gt ^ 2 \\ implicerer t \u003d \\ sqrt {\\ frac { (2 \\ gange 20)} g} \u003d \\ understreg {{bold {2.02} \\ tekst {s}}

Så for at finde, hvor den lander, x _{f
, kan vi bruge horisontal bevægelsesligning:
x_f \u003d x_i + v_xt \u003d 50 \\ times2.02 \u003d \\ understregning {\\ bold {101} \\ tekst {s}}}

Eksempel 2: En kugle startes 100 m /s fra jorden niveau i en vinkel på 30 grader med vandret. Hvor lander den? Hvornår er dens hastighed den mindste? Hvad er dets placering på dette tidspunkt?


(indsæt billede 5)


Kendte og ukendte mængder:


Først skal vi opdele hastighedsvektoren i komponenter:
v_x \u003d v_i \\ cos (\\ theta) \u003d 100 \\ cos (30) \\ ca. 86.6 \\ tekst {m /s} \\\\ v_ {yi} \u003d v_i \\ sin (\\ theta) \u003d 100 \\ sin (30) \u003d 50 \\ tekst {m /s}

Vores tabel med mængder er derefter:


(indsæt tabel 3)


Først skal vi finde den tid, bolden er på flugt. Vi kan gøre dette med den anden lodrette ligning_. Bemærk, at vi bruger symmetri af parabolen til at bestemme, at den endelige _y
hastighed er den negative af initialen:


Så bestemmer vi, hvor langt det er bevæger sig i x
retning på dette tidspunkt:
x_f \u003d x_i + v_xt \u003d 86.6 \\ gange 10.2 \\ ca. \\ understreg {\\ bold {883} \\ text m}

Brug af symmetrien i parabolsk bane, kan vi bestemme, at hastigheden er den mindste ved 5,1 s, når projektilet er på toppen af sin bevægelse, og den lodrette komponent af hastigheden er 0. X- og y-komponenterne i dens bevægelse på dette tidspunkt er:
x_f \u003d x_i + v_xt \u003d 86,6 \\ gange 5,1 \\ ca. \\ understreg {\\ bold {442} \\ tekst m} \\\\ y_f \u003d y_i + v_ {yi} t- \\ frac 1 2 gt ^ 2 \u003d 50 \\ times5. 1- \\ frac 1 2 9.8 \\ gange 5.1 ^ 2 \\ ca. \\ understreg {\\ bold {128} \\ tekst {m}} Kinematiske ligninger Afledning


Ligning # 1: Hvis accelerationen er konstant, så:
a \u003d \\ frac {(v_f-v_i)} {t}

Løsning for hastigheden, vi har:
v_f \u003d v_i + ved

Ligning # 2: Den gennemsnitlige hastighed kan skrives i to måder :
v_ {avg} \u003d \\ frac {(x_f-x_i)} {t} \u003d \\ frac {(v_f + v_i)} {2}

Hvis vi erstatter _v _{f _med udtrykket fra ligning # 1, får vi:
\\ frac {(x_f-x_i)} {t} \u003d \\ frac {((v_i + at) + v_i)} {2}}

Løsning for x _{f
giver:
x_f \u003d x_i + v_i t + \\ frac 1 2 ved ^ 2}

Ligning # 3: Start med at løse for t
i ligning # 1
v_f \u003d v_i + at \\ implicerer t \u003d \\ frac {(v_f-v_i)} {a}

Sæt dette udtryk i for t
i det gennemsnitlige hastighedsforhold:
v_ {avg} \u003d \\ frac { (x_f-x_i)} {t} \u003d \\ frac {(v_f + v_i)} {2} \\ antyder \\ frac {(x_f-x_i)} {(\\ frac {(v_f-v_i)} {a})} \u003d \\ frac {(v_f + v_i)} {2}

Omarrangering af dette udtryk giver:
(v_f) ^ 2 \u003d (v_i) ^ 2 + 2a (x_f - x_i)