Hvad er arbejdsenergiteormen?

Arbejds-energi-sætningen siger, at nettoarbejdet udført på et objekt er lig med ændringen i objektets kinetiske energi.

$$W_{net}=\Delta K$$

Hvor:

- \(W_{net}\) er nettoarbejdet udført på objektet (i joule)

- \(\Delta K\) er ændringen i objektets kinetiske energi (i joule)

Arbejds-energi-sætningen kan bruges til at løse en række problemer, der involverer bevægelse af objekter. For eksempel kan den bruges til at bestemme hastigheden af ​​en genstand, efter at den er blevet påvirket af en kraft, eller til at finde den afstand, en genstand vil tilbagelægge, før den stopper.

Bevis for Work-Energy Theorem

Arbejds-energi-sætningen kan bevises ved hjælp af følgende trin:

1. Betragt et objekt med massen \(m\), der bevæger sig med hastigheden \(\overhøjrepil{v_i}\). Objektets kinetiske energi er givet ved:

$$K_i=\frac{1}{2}mv_i^2$$

2. En nettokraft \(\overrightarrow{F}_{net}\) påføres objektet, hvilket får det til at accelerere og ændre dets hastighed til \(\overrightarrow{v_f}\). Arbejdet udført af nettokraften på objektet er givet ved:

$$W_{net}=\overrightarrow{F}_{net}\cdot\overrightarrow{d}$$

Hvor \(\overrightarrow{d}\) er objektets forskydning.

3. Ændringen i objektets kinetiske energi er givet ved:

$$\Delta K=K_f-K_i=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_i^2$$

4. Vi kan erstatte udtrykket for arbejdet udført af nettokraften med udtrykket for ændringen i kinetisk energi for at få:

$$W_{net}=\overrightarrow{F}_{net}\cdot\overrightarrow{d}=\Delta K=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_i^ 2$$

5. Denne ligning viser, at nettoarbejdet udført på objektet er lig med ændringen i objektets kinetiske energi, hvilket beviser arbejds-energi-sætningen.

Eksempler på Work-Energy Theorem

Arbejds-energi-sætningen kan bruges til at løse en række problemer, der involverer bevægelse af objekter. Her er et par eksempler:

* Eksempel 1: En genstand på 10 kg er i hvile på en vandret overflade. En 50-N kraft påføres objektet i 5 sekunder. Hvad er objektets hastighed efter 5 sekunder?

Løsning:

Netværket udført på objektet er:

$$W_{net}=\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{d}=(50\text{ N})(5\text{ m})=250\text{ J}$$

Ændringen i objektets kinetiske energi er:

$$\Delta K=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_i^2=\frac{1}{2}(10\text{ kg})v_f^2- 0$$

Ved at sætte netværket lig med ændringen i kinetisk energi får vi:

$$250\text{ J}=\frac{1}{2}(10\text{ kg})v_f^2$$

Løser vi for \(v_f\), får vi:

$$v_f=\sqrt{\frac{2(250\text{ J})}{10\text{ kg}}}=7,07\text{ m/s}$$

Derfor er objektets hastighed efter 5 sekunder 7,07 m/s.

* Eksempel 2: En genstand på 20 kg bevæger sig med en hastighed på 10 m/s. Hvad er det nødvendige arbejde for at stoppe objektet?

Løsning:

Ændringen i objektets kinetiske energi er:

$$\Delta K=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_i^2=\frac{1}{2}(20\text{ kg})(0)^ 2-\frac{1}{2}(20\text{ kg})(10\text{ m/s})^2=-1000\text{ J}$$

Det negative tegn angiver, at det arbejde, der kræves for at stoppe objektet, er negativt, hvilket betyder, at arbejdet skal udføres af objektet.

Derfor er det nødvendige arbejde for at stoppe objektet 1000 J.