Forskere løser et matematisk problem illustreret ved sæbefilm, der spænder over fleksible sløjfer

Ofte brugt til børns sjov, sæbebobler er sarte, lysreflekterende film, der typisk varer kun få sekunder, før de brister. Men ud over deres værdi at underholde, sæbebobler er fysiske eksempler på det rige matematiske problem med minimale overflader; de antager formen af ​​det mindst mulige overfladeareal, indeholdende et givet volumen. Forskere ved Okinawa Institute of Science and Technology Graduate University (OIST) har for nylig udarbejdet løsningen på et matematisk problem-kendt som Kirchhoff-Plateau-problemet-der simpelthen er illustreret af sæbefilm, der spænder over fleksible sløjfer.

"Vores løsning på Kirchhoff -Plateau -problemet bringer smukke matematiske resultater tæt på det, der sker i den fysiske verden, "siger Dr. Giulio Giusteri, medforfatter af papiret, der for nylig blev offentliggjort i Journal of Nonlinear Science. Dr. Giusteri arbejdede sammen med professor Eliot Fried, der leder OIST's Mathematical Soft Matter Unit, og Dr. Luca Lussardi fra Università Cattolica del Sacro Cuore i Italien.

Det spørgsmål, teamet besvarede, er en variant af "Plateau -problemet", et århundreder gammelt matematisk problem, opkaldt efter belgisk fysiker fra 1800 -tallet, Joseph Plateau. Plateau antog, at når du dypper en stiv trådramme i en sæbeopløsning, overfladen af ​​sæbefilmen dannet på rammen repræsenterer et minimum matematisk muligt område, uanset rammens form.

Den første tilfredsstillende løsning på Plateau -problemet blev leveret i det 20. århundrede, af den amerikanske matematiker Jesse Douglas, som han blev tildelt Fields -medaljen i 1936. For nylig har i 2014, Professor Jenny Harrison fra UC Berkeley udvidede Douglas arbejde, fremlægge et bevis, der er gyldigt under generelle hypoteser, der omfatter for eksempel, situationer, hvor knudepunkter er til stede, hvor flere sæbefilm møder hinanden.

I modsætning til Plateau -problemet, hvor en sæbefilm spænder over en fast ramme, Kirchhoff-Plateau-problemet vedrører ligevægtsformer af sæbefilm, der spænder over fleksible sløjfer, lavet, for eksempel, af fiskelinje, der kan beskrives ved hjælp af Kirchhoffs teori om stænger - en model, der giver en kraftfuld tilgang til at studere statikken og dynamikken i tynde elastiske stænger. Komplikationen er, at en fleksibel sløjfe kan ændre form som reaktion på den kraft, der udøves af sæbefilmen. Som sådan, en løsning på problemet kræver, at man ikke kun bestemmer sæbefilmens form, men også formen på afgrænsningssløjfen. I modsætning, grænsens form i det oprindelige Plateau -problem er kendt, fordi den er lavet af stiv tråd, der forbliver fastgjort mod sæbefilmens relativt svage kræfter.

En yderligere komplikation forbundet med Kirchhoff-Plateau-problemet er, at i modsætning til det oprindelige Plateau-problem, hvor grænsen antages at være endimensionel, en Kirchhoff-stang er et tredimensionelt objekt. Selvom filamenter som fiskelinje er tynde, de er størrelsesordener tykkere end en sæbefilm i ligevægt, hvilket betyder, at sæbefilmens område kan ændre sig afhængigt af det punkt, hvor filmen berører sløjfen.

Forskerne oversatte med succes alle disse fysiske effekter til matematiske termer. Som professor Fried forklarer:"Uanset hvor stærk konkurrencen er mellem overfladespænding af sæbefilmen og loopens elastiske reaktion, systemet er altid i stand til at justere for at opnå en konfiguration med mindst energi. "

Løsningen på Kirchhoff-Plateau-problemet bidrager ikke kun til forståelsen af ​​energi, der minimerer matematiske former, men kan også anvendes på biologiske systemer. For eksempel, det kunne hjælpe os med at forstå, hvordan et proteins form bestemmer, hvordan det interagerer med og binder sig til en overflade.

Teamet arbejder nu på computersimuleringer, der, baseret på denne matematiske model, kan forudsige fysiske systems adfærd.