Sådan finder du afstanden fra et punkt til en linje

Et godt greb om algebra hjælper dig med at løse geometriproblemer, såsom at finde afstanden fra et punkt til en linje. Løsningen involverer at oprette en ny vinkelret linje, der forbinder punktet med den oprindelige linje, derefter finde det punkt, hvor de to linjer krydser hinanden, og til sidst beregne længden af den nye linje til skæringspunktet.

TL; DR (For lang; læste ikke)

For at finde afstanden fra et punkt til en linje skal du først finde den vinkelrette linje, der passerer gennem punktet. Brug derefter det Pythagoreiske teorem til at finde afstanden fra det oprindelige punkt til skæringspunktet mellem de to linjer.
Find den vinkelrette linje

Den nye linje vil være vinkelret på den originale, dvs. de to linjer skærer hinanden i rette vinkler. For at bestemme ligningen for den nye linje tager du den negative inverse af skråningen på den oprindelige linje. To linjer, den ene med en hældning A, og den anden med en hældning, -1 ÷ A, skærer hinanden i rette vinkler. Det næste trin er at erstatte punktet i ligningen af en hældningsafskærmningsform for en ny linje for at bestemme dens y-afskærmning.

Tag som et eksempel linjen y \u003d x + 10 og punktet (1, 1). Bemærk, at linjens hældning er 1. Den negative gensidighed på 1 er -1 ÷ 1 eller -1. Så hældningen for den nye linje er -1, så hældningsafskærmningsformen for den nye linje er y \u003d -x + B, hvor B er et tal, du endnu ikke kender. For at finde B skal du erstatte punktets x- og y-værdier i linjeligningen:
y \u003d -x + B

Brug det originale punkt (1,1), så erstatt 1 med x og 1 for y:

1 \u003d -1 + B1 + 1 \u003d 1 - 1 + B tilføj 1 til begge sider2 \u003d B

Du har nu værdien for B.

Den nye linies ligning er derefter y \u003d -x + 2.
Bestem skæringspunkt

De to linjer skærer hinanden, når deres y-værdier er ens. Du finder dette ved at indstille ligningerne lig med hinanden og derefter løse for x. Når du har fundet værdien for x, skal du sætte værdien i en af linjeligningerne (det betyder ikke noget for hvilken) for at finde skæringspunktet.

Fortsætter eksemplet, har du den originale linje:
y \u003d x + 10
og den nye linje, y \u003d -x + 2
x + 10 \u003d -x + 2 Sæt de to ligninger lig med hinanden.
x + x + 10 \u003d x -x + 2 Tilføj x til begge sider.
2x + 10 \u003d 2
2x + 10 - 10 \u003d 2 - 10 Trækk 10 fra begge sider.
2x \u003d -8
(2 ÷ 2) x \u003d -8 ÷ 2 Del begge sider med 2.
x \u003d -4 Dette er x-værdien for skæringspunktet.
y \u003d -4 + 10 Udskift denne værdi for x i en af ligningerne .
y \u003d 6 Dette er y-værdien for skæringspunktet.
Skæringspunktet er (-4, 6)
Find længden på en ny linje

Længden på den nye linje mellem det givne punkt og det nyligt fundne skæringspunkt er afstanden mellem punktet og den oprindelige linje. For at finde afstanden trækkes x- og y-værdierne for at få x- og y-forskydningerne. Dette giver dig de modsatte og tilstødende sider af en højre trekant; afstanden er hypotenusen, som du finder med Pythagorean sætning. Tilføj kvadraterne med de to numre, og tag kvadratroten af resultatet.

Efter eksemplet har du det oprindelige punkt (1,1) og skæringspunktet (-4,6).
x1 \u003d 1, y1 \u003d 1, x2 \u003d -4, y2 \u003d 6
1 - (-4) \u003d 5 Trækk x2 fra x1.
1 - 6 \u003d -5 Trækk y2 fra y1.
5 ^ 2 + (-5) ^ 2 \u003d 50 Kvadrat de to numre, og tilføj derefter.
√ 50 eller 5 √ 2 Tag kvadratroten af resultatet.
5 √ 2 er afstanden mellem punktet (1,1) og linjen, y \u003d x + 10.