Udled bevægelsesligning ved hjælp af princip?

Lagranges bevægelsesligninger er et sæt af andenordens differentialligninger, der beskriver bevægelsen af ​​et system af partikler. De er afledt af princippet om mindste handling, som siger, at den faktiske vej, som et system tager mellem to punkter, er den, der minimerer handlingsintegralet.

Handlingsintegralet er defineret som integralet af Lagrangian over tid:

$$S =\int_{t_1}^{t_2} L(q_i, \dot{q_i}, t) dt$$

hvor $q_i$ er de generaliserede koordinater for systemet, $\dot{q_i}$ er deres tidsafledte, og $L$ er Lagrangian. Lagrangian er en funktion af de generaliserede koordinater, deres tidsderivater og tid.

Princippet om mindste handling siger, at den faktiske vej, som et system tager mellem to punkter, er den, der minimerer handlingsintegralet. Dette kan udtrykkes matematisk som:

$$\delta S =0$$

hvor $\delta S$ er variationen af ​​handlingsintegralet.

Lagranges bevægelsesligninger kan udledes af princippet om mindste handling ved at bruge variationsregningen. Variationsregningen er en gren af ​​matematikken, der beskæftiger sig med at finde funktioner, der minimerer eller maksimerer en funktionel.

For at finde de funktioner, der minimerer handlingsintegralet, skal vi finde variationerne af handlingsintegralet og sætte dem lig med nul. Variationerne af handlingsintegralet er givet ved:

$$\delta S =\int_{t_1}^{t_2} \left(\frac{\partial L}{\partial q_i} \delta q_i + \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} \delta \dot{q_i} + \frac{\partial L}{\partial t} \delta t\right) dt$$

hvor $\delta q_i$, $\delta \dot{q_i}$ og $\delta t$ er variationerne af de generaliserede koordinater, deres tidsafledte og tid.

Ved at sætte variationerne af handlingsintegralet lig med nul, får vi:

$$\frac{\partial L}{\partial q_i} =\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right)$$

Dette er Lagranges bevægelsesligninger. De er et sæt af andenordens differentialligninger, der beskriver bevægelsen af ​​et system af partikler.

Eksempel:

Betragt en partikel med masse $m$, der bevæger sig i et endimensionelt potentiale $V(x)$. Lagrangian for dette system er:

$$L =\frac{1}{2} m \dot{x}^2 - V(x)$$

Den generaliserede koordinat for dette system er $x$, og dets tidsafledte er $\dot{x}$. Lagrangian er en funktion af $x$, $\dot{x}$ og $t$.

Lagranges bevægelsesligning for dette system er:

$$\frac{\partial L}{\partial x} =\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)$$

Ved at erstatte Lagrangian i denne ligning får vi:

$$- \frac{\partial V}{\partial x} =m \frac{d^2 x}{dt^2}$$

Dette er Newtons anden bevægelseslov for en partikel med masse $m$, der bevæger sig i et endimensionelt potentiale $V(x)$.