Sådan beregnes med Taylor Series

En Taylor-serie er en numerisk metode til at repræsentere en given funktion. Denne metode har anvendelse på mange tekniske felter. I nogle tilfælde, såsom varmeoverførsel, differentieringsanalyse resulterer i en ligning, der passer i form af en Taylor-serie. En Taylor-serie kan også repræsentere et integral, hvis integralet af den funktion ikke eksisterer analytisk. Disse repræsentationer er ikke eksakte værdier, men beregning af flere udtryk i serien vil gøre tilnærmelsen mere præcis.

Vælg et center for Taylor-serien. Dette tal er vilkårlig, men det er en god idé at vælge et center, hvor der er symmetri i funktionen eller hvor værdien for centret forenkler matematikken i problemet. Hvis du beregner Taylor-seriens repræsentation af f (x) = sin (x), er et godt center at bruge a = 0.

Bestem antallet af vilkår, du ønsker at beregne. Jo flere betingelser du bruger, jo mere præcis din repræsentation vil være, men da en Taylor-serie er en uendelig serie, er det umuligt at inkludere alle mulige vilkår. Synd (x) -eksemplet vil bruge seks udtryk.

Beregn de derivater, du skal bruge til serien. For dette eksempel skal du beregne alle derivaterne op til det sjette derivat. Da Taylorserien starter ved "n = 0," skal du inkludere "0" -afleddet, som kun er den oprindelige funktion. 0th derivative = sin (x) 1 = cos (x) 2 = -in (x) 3 = -cos (x) 4 = sin (x) 5th = cos (x) 6th = -in (x)

Beregn værdien for hvert derivat i det center du valgte. Disse værdier er tællerne for Taylor-seriens første seks vilkår. sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0 -cos (0) = -1 sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0

Brug afledte beregninger og centre til at bestemme Taylor-seriens vilkår. 1. semester n = 0; (0/0!) (X - 0) ^ 0 = 0/1 2. sigt; n = 1; (1/1!) (X - 0) ^ 1 = x /1! 3. term n = 2; (0/2!) (X - 0) ^ 2 = 0/2! 4. term; n = 3; (-1/3!) (X - 0) ^ 3 = -x ^ 3/3! 5. valgperiode n = 4; (0/4!) (X - 0) ^ 4 = 0/4! 6. valgperiode n = 5; (1/5!) (X - 0) ^ 5 = x ^ 5/5! Taylor-serien for synd (x): sin (x) = 0 + x /1! + 0 - (x ^ 3) /3! + 0 + (x ^ 5) /5! + ...

Slet nulbetingelserne i serien og forenkle udtrykket algebraisk for at bestemme den forenklede repræsentation af funktionen. Dette vil være en helt anden serie, så de anvendte værdier for "n" tidligere ikke længere gælder. synd (x) = 0 + x /1! + 0 - (x ^ 3) /3! + 0 + (x ^ 5) /5! + ... synd (x) = x /1! - (x ^ 3) /3! + (X ^ 5) /5! - ... Da tegnene skifter mellem positive og negative, skal den første komponent i den forenklede ligning være (-1) ^ n, da der ikke er nogen lige tal i serien. Udtrykket (-1) ^ n resulterer i et negativt tegn, når n er ulige og et positivt tegn, når n er jævnt. Serierepræsentationen af ​​ulige tal er (2n + 1). Når n = 0 er dette udtryk lig med 1; når n = 1 er dette udtryk lig med 3 og så videre til uendeligt. I dette eksempel skal du bruge denne repræsentation for eksponenterne for x og faktorialerne i nævneren

Brug repræsentationen af ​​funktionen i stedet for den oprindelige funktion. For mere avancerede og vanskeligere ligninger kan en Taylor-serie gøre en uopløselig ligning løsbar eller i det mindste give en rimelig numerisk løsning.