Sådan estimeres en derivat fra en Graph

Udviklingshastighederne vises hele tiden inden for videnskab og især i fysik gennem mængder som hastighed og acceleration. Derivater beskriver ændringshastigheden af ​​en mængde i forhold til en anden matematisk, men beregning af dem kan være kompliceret nogle gange, og du kan blive præsenteret med en graf i stedet for en funktion i ligningsform. Hvis du er præsenteret med en kurvegraf og skal finde derivatet af den, kan du måske ikke være lige så præcis som med en ligning, men du kan nemt lave et solidt estimat.

TL ; DR (for længe, ​​ikke læst)

Vælg et punkt på grafen for at finde værdien af ​​derivatet på.

Tegn en retlinetangent til kurven på grafen ved dette punkt.

Tag hældningen af ​​denne linje for at finde værdien af ​​derivatet på dit valgte punkt på grafen.

Hvad er en derivat?

Udenfor abstrakt indstilling af differentiering af en ligning, kan du være lidt forvirret over, hvad et derivat virkelig er. I algebra er et derivat af en funktion en ligning, der fortæller dig værdien af ​​funktionens "hældning" på et hvilket som helst tidspunkt. Med andre ord fortæller det dig, hvor meget en mængde ændres med en lille ændring i den anden. På en graf fortæller linjens gradient eller hældning, hvor meget den afhængige variabel (placeret på y
-aks) ændres med den uafhængige variabel (på x
-axis) .

Ved lineære grafer bestemmer du (konstant) ændringshastigheden ved at beregne hældningen af ​​grafen. Relationer beskrevet af kurver er ikke så lette at håndtere, men princippet om, at derivatet bare betyder hældningen (på det specifikke punkt) gælder stadig.

Vælg den rigtige placering til din derivat

For forhold, der beskrives af kurver, tager derivatet en anden værdi på hvert punkt langs kurven. For at estimere derivatet af grafen, skal du vælge et punkt for at tage derivatet på. For eksempel, hvis du har en graf, der viser strækning, der er tilbagelagt over tid, vil du på en lineær graf fortælle den konstante hastighed. For hastigheder, der ændrer sig med tiden, vil grafen være en kurve, men en lige linje, der bare rører kurven på et punkt (en linje tangent til kurven) repræsenterer ændringshastigheden på det pågældende punkt.

Vælg et sted, du skal kende afledte på. Brug den tilbagelagte afstand vs. tid eksempel, vælg den tid, hvor du vil kende hastigheden af ​​rejsen. Hvis du har brug for at kende hastigheden på flere forskellige punkter, kan du gennemgå denne proces for hvert enkelt punkt. Hvis du vil vide hastigheden 15 sekunder efter bevægelsens start, skal du vælge punktet på kurven efter 15 sekunder på x
-axis.

Tegn en tangentlinie til kurven på That Point

Tegn en linie tangential til kurven på det punkt, du er interesseret i. Tag din tid når du gør dette, fordi det er den vigtigste og mest udfordrende del af processen. Dit estimat bliver bedre, hvis du trækker en mere præcis tangentlinje. Hold en linjal op til punktet på kurven og juster retningen, så linjen du tegner, vil kun trykke på kurven ved det enkelt punkt, du er interesseret i.

Tegn din linje som så længe grafen tillader det. Sørg for, at du nemt kan læse to værdier for både x
og y
koordinaterne, en nær starten på din linje og en nær slutningen. Du behøver ikke absolut at tegne en lang linje (teknisk er enhver retlinie egnet), men længere linjer har tendens til at være lettere at måle hældningen på.

Find hældningen af ​​tangentlinjen

Find to steder på din linje og noter x
og y
koordinaterne for dem. For eksempel forestiller du din tangent som to bemærkelsesværdige pletter på x
= 1, y
= 3 og x
= 10, y
= 30, som du kan ringe til punkt 1 og punkt 2. Brug symbolerne x
_{1 og y
1 til at repræsentere koordinaterne for det første punkt og x
2 og y
2 for at repræsentere koordinaterne for det andet punkt, hældningen m
er givet af:}

m
= ( y
_{2 - y
1) ÷ ( x
2 - x
1)}

Dette fortæller dig derivatet af kurven ved det punkt, hvor linjen rører kurven. I eksemplet x
_{1 = 1, x
2 = 10, y
1 = 3 og y
2 = 30, så:}

m
= (30 -
3) ÷ (10 -
1)

= 27 ÷ 9

= 3

I eksemplet vil dette resultat være hastigheden på det valgte punkt. Så hvis x
-axis blev målt i sekunder, og y
-axis blev målt i meter, ville resultatet betyde, at det pågældende køretøj var på 3 meter per sekund. Uanset hvilken bestemt mængde du beregner, er processen med at estimere derivatet det samme.