Find ukendte eksponenter med logaritmer:en praktisk vejledning

Linaimages/Shutterstock

Når du ser udtryk som 3 ² og 5 ³ , kan du læse dem som "tre kvadrater" og "fem terninger." Disse kompakte notationer giver dig mulighed for at beregne de ækvivalente almindelige tal – henholdsvis 9 og 125 – uden at udvide multiplikationen.

Hvad er eksponenter?

En eksponent eller potens angiver gentagen multiplikation af en base med sig selv. For eksempel 4 ⁵ =4 × 4 × 4 × 4 × 4 =1.024.

Særlige tilfælde omfatter ethvert tal hævet til første potens, der forbliver uændret, og ethvert tal hævet til nulpotens lig med én:7 ² =49 og 7 ⁰ =1.

Negative eksponenter producerer reciproke:x ^-n =1/(x ⁿ ). Fraktionelle eksponenter repræsenterer rødder; for eksempel 2 ^5/3 betyder terningroden af 2 hævet til femte potens.

Hvad er logaritmer?

Logaritmer kan ses som den inverse operation af eksponentiering. De besvarer spørgsmålet:til hvilken styrke skal en base hæves for at opnå et givet tal?

For eksempel 10 ³ =1.000, som kan skrives som log₁₀ (1.000) =3. Den generelle notationslog_b (a) =c betyder, at b ^c =a.

Både grundtallet og argumentet skal være positivt, og grundtallet kan ikke være lig med 1. Når grundtallet udelades, forstås det som 10 (almindelig logaritme), mens den naturlige logaritme bruger grundtallet e ≈ 2,7183 og betegnes ln.

Nyttige logaritmeregler

• log_b (xy) =log_b (x) + log_b (y)
• log_b (x/y) =log_b (x) – log_b (y)
• log_b (x ^A ) =A·log_b (x)
• log_b (1/å) =–log_b (y)

Løsning for en eksponent

Overvej ligningen 50 =4 ^x . For at isolere den ukendte eksponent, tag logaritmen af begge sider (fælles base 10 er praktisk):

log₁₀ (50) =log₁₀ (4 ^x ) =x·log₁₀ (4)

Således x =log₁₀ (50) / log₁₀ (4) . Log₁₀ ved hjælp af en lommeregner (50) ≈ 1.699 og log₁₀ (4) ≈ 0,602, hvilket giver x ≈ 2,82.

Løsning af eksponentialligninger med e

Den naturlige logaritme ln (grundlag e) følger de samme principper. Løs f.eks. 16 =e ^2,7x :

ln(16) =ln(e ^2,7x ) =2,7x

Da ln(16) ≈ 2,773, finder vi x =2,773 / 2,7 ≈ 1,03.

Referencer

• LibreTexts Statistik:Logaritmer
• Lamar University Matematik:Løsning af eksponentialligninger
• MathOnWeb.com:Logaritmer