Mestring af tangentberegninger:Fra højre-trekant-forhold til uendelig række

Tangenten er en af de grundlæggende trigonometriske funktioner sammen med sinus og cosinus. Den forbinder en trekants vinkler med forholdet mellem dens sider og er uundværlig inden for områder lige fra teknik til fysik. I denne vejledning gennemgår vi den klassiske retvinklede trekantede definition, illustrerer dens brug med et simpelt eksempel og viser derefter, hvordan den samme værdi kan udledes fra andre trigonometriske funktioner og beregnes ved hjælp af en potensserieudvidelse.

Trin 1:Identificer trekantskomponenter

Mærk den rigtige trekant, så sammenhængene er klare. Placer den rette vinkel ved toppunktet C, og lav hypotenuseh modsat denne vinkel. Lad den spidse vinkel af interesse være θ ved toppunkt A. Den side, der støder op til θ, er mærketb, og den modsatte side θ er mærket med. De to ben (aandb) danner sammen med hypotenusen den komplette trekant.

Trin 2:Definer Tangent-funktionen

Per definition er tangens af en vinkel forholdet mellem længden af siden modsat vinklen og længden af den side, der støder op til vinklen:

\[\tan\theta =\frac{a}{b}\]

Trin 3:Beregn et simpelt eksempel

Betragt en ligebenet retvinklet trekant, hvor benene er lige store:a=b. Her er \(\tan\theta =1\). Da begge spidse vinkler er 45°, bekræfter vi, at \(\tan45^{\circ}=1\).

Trin 4:Afled Tangent fra Sinus og Cosinus

Fordi \(\sin\theta =\frac{a}{h}\) og \(\cos\theta =\frac{b}{h}\), giver dividering af de to:\[\tan\theta =\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\]

Trin 5:Beregn Tangent for enhver vinkel ved hjælp af serieudvidelse

For højere præcision eller ikke-heltalsvinkler skal du bruge Maclaurin-serien:\[\sin x =x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots\]\[\cos x =1 - \frac{x^2}{2!x} - \frac{x^2}{2!x} + \frac{x^2}{2!x} + \}}{c! + \dots\]Så\[\tan x =\frac{\sin x}{\cos x} =\frac{x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots}{1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots}\]

Afkort serien til den ønskede nøjagtighed; til de fleste praktiske formål er nogle få udtryk tilstrækkelige.