Mestring af derivater:Sådan finder du ændringsraten i kalkulation

Af Ariel Balter, Ph.D. Opdateret 30. august 2022

Hulton Archive/Getty Images News/Getty Images

I calculus er den afledede et grundlæggende værktøj, der kvantificerer, hvordan en funktion ændrer sig. For eksempel, hvis x(t) repræsenterer et køretøjs position på tidspunktet t , dens afledte dx/dt angiver køretøjets hastighed. Visuelt er den afledede lig med hældningen af ​​tangentlinjen til funktionens graf i et givet punkt. Mens den begrebsmæssige definition er afhængig af grænser, anvender matematikere i praksis et sæt standardregler og opslagstabeller til hurtigt at beregne afledte.

Afledten som en hældning

Begrebsmæssigt er hældningen af en lige linje mellem to punkter stigningen over løbet:Δy / Δx . For en funktion y(x) ved en specifik x , den afledede er hældningen af den linje, der lige rører kurven ved [x, y(x)] . For at tilnærme dette, trækker man en linje fra [x, y(x)] til et nærliggende punkt [x+h, y(x+h)] hvor h er meget lille. Kørslen er h og stigningen er y(x+h)-y(x) . Hældningen er således cirka (y(x+h)-y(x))/h . Tager grænsen som h nærmer sig nul giver den nøjagtige hældning, betegnet y'(x) eller dy/dx .

Den afledte effekt af en Power-funktion

Ved at bruge grænsedefinitionen kan vi udlede den afledede af en potensfunktion y(x)=x^a . For eksempel, hvis y=x^3 , derefter

dy/dx=lim_{h→0}[(x+h)^3-x^3]/h .

Udvider (x+h)^3 giver [(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3)-x^3]/h=3x^2+3xh^2+h^2 . Som h har en tendens til nul, termerne indeholder h forsvinder og efterlader y'(x)=3x^2 . Generelt d/dx x^a = a x^{a-1} .

Afledte produkter fra Power Series

Mange funktioner kan udtrykkes som potensrækker, dvs. uendelige summer af formen ∑_{n=0}^{∞}C_n x^n . For eksempel udvides sinusfunktionen til

sin(x)=x- x^3/6 + x^5/120 - x^7/5040 + …

Differentiering af term-for-term giver potensrækken for cos(x) :

cos(x)=1- x^2/2 + x^4/24 - x^6/720 + …

Brug af afledte tabeller og regler

Mens limit- og power-serie-metoderne danner grundlaget, er matematikere ofte afhængige af forudberegnede tabeller for elementære afledte:d/dx sin x = cos x , d/dx e^x = e^x , d/dx ln x = 1/x , og så videre. For komposit- eller produktfunktioner er regler som kædereglen og produktreglen uundværlige. For eksempel giver kædereglen d/dx sin(x^2)=2x cos(x^2) , og produktreglen giver d/dx[x sin x]=x cos x+sin x . Ved at kombinere disse standardregler med tabellerne kan enhver differentierbar funktion håndteres analytisk. Når funktioner bliver ekstremt komplekse, bruges beregningsværktøjer som Mathematica eller SymPy til at automatisere processen.