Beregn trekantvinkler ved hjælp af trigonometri:Pythagoras sætning, sinus/cosinus og sinusloven

Af Michael O. Smathers – Opdateret 30. august 2022

Trigonometri er den gren af matematik, der fokuserer på forholdet mellem en trekants sider og vinkler. Det undervises typisk på pre-calculus eller avanceret geometri-niveau og er afgørende for at løse problemer, hvor kun delvis information om en trekant er kendt. I denne guide gennemgår vi de mest pålidelige metoder til at bestemme ukendte vinkler, når du har to sider, en side og en vinkel, eller slet ingen rette vinkler.

Pythagores sætning

Trin 1

For en retvinklet trekant skal du indtaste de to kendte ben (A og B) i den klassiske ligning:

A ²  + B ²  = C ² – hvor C er hypotenusen, siden modsat den rette vinkel. Hvis f.eks. benene måler 3 cm og 4 cm, skal du beregne 3² + 4² = 9 + 16 = 25.

Trin 2

Træk kvadratet af den kendte side fra kvadratet af hypotenusen for at isolere kvadratet på den manglende side. Hvis det kendte ben er 5 cm, og hypotenusen er 13 cm, skal du trække 5² = 25 fra 13² = 169, hvilket giver 144.

Trin 3

Tag kvadratroden af resultatet for at finde længden af det manglende ben. Kvadratroden af 144 er 12, så den anden side måler 12 cm.

Sinus- og cosinusforhold

Trin 1

Vælg den vinkel, der støder op til den kendte hypotenuse og det ene ben. Denne vinkel vil blive brugt til at beregne sinus- og cosinusværdierne.

Trin 2

Beregn sinus ved at dividere siden modsat den valgte vinkel med hypotenusen. For en trekant med en hypotenusa på 13 cm og en modsat side på 12 cm, sinθ = 12/13 ≈ 0,923.

Beregn cosinus ved at dividere den side, der støder op til den valgte vinkel, med hypotenusen. Ved at bruge den samme trekant, cosθ = 5/13 ≈ 0,384.

Trin 3

På en videnskabelig lommeregner skal du indtaste sinus- eller cosinusværdien og trykke på den omvendte (inv)-knap for at hente vinklen. For sin0,923 eller cos0,384 er resultatet ca. 67,38°.

Trin 4

For at finde den resterende vinkel skal du lægge 90° til den beregnede vinkel og trække summen fra 180°. I dette eksempel:67,38° + 90° = 157,38° og 180° – 157,38° = 22,62°.

Sinesloven

Når trekanten ikke har nogen ret vinkel, giver Sinusloven et kraftfuldt værktøj til at relatere vinkler til modsatte sider. Ifølge Clark University er loven udtrykt som:

sina/A = sinb/B = sinc/C , hvor a,b,c er vinkler og A,B,C er siderne modsat dem.

Trin 1

Identificer en kendt side og dens modsatte vinkel. Hvis vinklen er stump (mellem 90° og 180°), skal du først finde den supplerende spidse vinkel ved at trække fra 180°.

Trin 2

Beregn sinus for den kendte vinkel ved at dividere den modsatte side med den tilstødende side, eller ved at bruge en lommeregner, hvis kun sidelængderne er angivet.

Trin 3

Indstil forholdet sina/A lig med sinb/B (eller sinc/C) og løs for den ukendte sinusværdi. Multiplicer begge sider med den tilsvarende sidelængde for at isolere sinus af den ukendte vinkel.

Trin 4

Brug den omvendte sinusfunktion på en lommeregner til at konvertere sinusværdien tilbage til en vinkel. Gentag processen for hver resterende vinkel.

Ved at følge disse systematiske trin kan du med sikkerhed bestemme alle ukendte vinkler i enhver trekant, uanset om den indeholder en ret vinkel eller ej.