Sådan finder du ligningen for en tangentlinje

En tangentlinje rører en jævn kurve på præcis ét punkt, og deler den samme øjeblikkelige hældning som kurven på det sted. At bestemme dens ligning er en rutinemæssig beregningsopgave, der er afhængig af funktionens afledte.

Trin 1 – Differentier funktionen

Beregn f ′(x) ved hjælp af standarddifferentieringsregler. For potensfunktioner, f(x)=xⁿ, giver potensreglen f ′(x)=nxⁿ⁻¹. For eksempel, for f(x)=2x²+4x+10, er den afledte f ′(x)=4x+4=4(x+1).

Når funktionen er et produkt, skal du anvende produktreglen:(f₁f₂)′ =f₁f₂′ + f₁′f₂. For eksempel giver f(x)=x²(x²+2x) f ′(x)=x²(2x+2)+2x(x²+2x)=4x³+6x².

Trin 2 – Evaluer hældningen på det ønskede punkt

Hældningen af tangenten er lig med den afledede beregnet ved den valgte x-værdi. For f(x)=2x²+4x+10 ved x=5 er hældningen m =f ′(5) =4(5+1) =24.

Trin 3 – Konstruer Tangentlinjeligningen

Find først tangenspunktet ved at sætte x-værdien ind i den oprindelige funktion:f(5)=2·5²+4·5+10=80. Pointen er således (5,80). Brug af punkthældningsformen y−y₀=m(x−x₀) giver

y−80 =24(x−5). Omarrangering til hældningsskæringsform giver y =24x - 1915.

Det endelige udtryk er ligningen for tangentlinjen til f(x) ved x=5.