Hvad er en radian? Den naturlige enhed for vinkelmåling

Wavebreakmedia/iStock/GettyImages

En radian er den grundlæggende enhed til måling af vinkler i matematik og fysik. Den er defineret af en cirkels geometri:Hvis du tager en bue, hvis længde er lig med cirklens radius, er vinklen, der er spændt i midten af ​​den bue, en radian. Denne definition binder enheden direkte til cirklens form, hvilket gør den mere "naturlig" for mange matematiske formler.

TL;DR

En radian er en vinkelenhed baseret på cirklens radius, hvilket forenkler mange avancerede ligninger i matematik og fysik.

Grader vs. Radianer

Grader er den daglige måde at udtrykke vinkler på - 360° i en hel cirkel, 180° i en trekant, 90° for en ret vinkel. Radianer kommer dog fra cirklens egen geometri:en fuld cirkel er 2π radianer, en trekant er π radianer, og en ret vinkel er π/2 radianer. Selvom π er irrationel, strømliner radianer beregninger, der ellers ville involvere π‑multiplikatorer.

Når Radians vinder

Til grundlæggende aritmetik og trigonometri er grader praktiske, fordi du sjældent har brug for brøkdele af π. I calculus bliver radianer væsentlige. Potensrækken for sinus er for eksempel langt renere i radianer:

\(\sin(x) =x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots\)

I grader ville den samme serie kræve gentagne gange at indsætte \(\frac{\pi x}{180}\), hvilket øger både længden og chancen for fejl. Fordi radianer stammer direkte fra cirkelgeometri, passer de naturligt til trigonometriske funktioners opførsel i calculus.

Praktiske anvendelser i matematik og fysik

I calculus er den afledte af \(\sin(x)\) simpelthen \(\cos(x)\), når x er i radianer. I grader vil den afledede inkludere en ekstra faktor på \(\frac{\pi}{180}\). I fysik skrives vinkelhastighed ofte som \(\omega\) og måles i radianer pr. sekund; f.eks. er en hel rotation pr. sekund lig med \(2\pi\) rad/s. Radianer reducerer således rod i både formler og notation.

Konvertering mellem grader og radianer

For at konvertere en vinkel fra grader til radianer skal du gange med \(\pi\) og dividere med 180. For eksempel, 360° × \(\pi\) ÷ 180 =2\pi rad. Omvendt, for at konvertere fra radianer til grader skal du gange med 180 og dividere med \(\pi\). Så \(\frac{\pi}{2}\) rad × 180 ÷ \(\pi\) =90°.