Forenkling af komplekse tal:En klar, trin-for-trin guide

Ridofranz/iStock/GettyImages

Algebra kræver ofte forenkling af udtryk og komplekse tal - dem, der indeholder den imaginære enhed i (defineret af i ² =–1)—kan virke skræmmende ved første øjekast. Men når først du mestrer de grundlæggende regler, er håndtering af komplekse tal ligetil og pålidelig.

TL;DR (for lang; læste ikke)

Følg grundlæggende algebraiske regler – addition, subtraktion, multiplikation og division – når du arbejder med komplekse tal for at forenkle ethvert udtryk.

Hvad er et komplekst tal?

Komplekse tal udvider det reelle talsystem ved at inkorporere den imaginære enhed i , kvadratroden af –1. Ethvert komplekst tal kan skrives i standardformen:

\(z =a + bi\)

Her en er den rigtige del og b er den imaginære del, som hver kan være positiv eller negativ. For eksempel z =2 – 4i demonstrerer strukturen. Faktisk er almindelige reelle tal simpelthen komplekse tal med b =0, så det komplekse talsystem er en naturlig forlængelse af alle tal.

Grundlæggende regler for algebra med komplekse tal

Addition og subtraktion

Når du tilføjer eller subtraherer komplekse tal, skal du kombinere de reelle dele og de imaginære dele separat. For eksempel med z =2 – 4i og w =3 + 5i :

\(\begin{aligned} z + w &=(2 – 4i) + (3 + 5i)\\ &=(2 + 3) + (-4 + 5)i\\ &=5 + i\end{aligned}\)

Subtrahering følger samme princip:

\(\begin{aligned} z - w &=(2 – 4i) – (3 + 5i)\\ &=(2 – 3) + (-4 – 5)i\\ &=-1 - 9i\end{aligned}\)

Multiplikation

Multiplikation er analog med almindelig algebra, men du skal huske at i ² =–1. For to simple imaginære tal, 3i × –4i :

\(3i \times -4i =-12i^2 =-12(-1) =12\)

Med fulde komplekse tal, brug FOIL-metoden:

\(\begin{aligned} z \times w &=(2 - 4i)(3 + 5i)\\ &=(2 \times 3) + (-4i \times 3) + (2 \times 5i) + (-4i \times 5i)\\ &=6 - 12i + 10i - 20i &\=6i - 20i &\=2 - 20i 26 + 2i\end{aligned}\)

Division

For at dividere komplekse tal skal du gange tæller og nævner med konjugatet af nævneren. Konjugatet af et komplekst tal z =a + bi er z* =a – bi. For eksempel:

\(\frac{z}{w} =\frac{2 - 4i}{3 + 5i}\)

Gang med konjugatet af nævneren (3 – 5i). ):

\(\frac{z}{w} =\frac{(2 - 4i)(3 - 5i)}{(3 + 5i)(3 - 5i)}\)

Beregn tæller og nævner separat:

\(\begin{aligned} (2 - 4i)(3 - 5i) &=6 - 12i - 10i + 20i^2 \newline &=-14 - 22i \newline (3 + 5i)(3 - 5i) &=9 + 15i - 15i - 25i=23}\end line &

Således:

\(\frac{z}{w} =\frac{-14 - 22i}{34} =-\frac{7}{17} - \frac{11}{17}i\)

Forenkling af komplekse udtryk

Anvend reglerne ovenfor for at reducere ethvert komplekst udtryk. Overvej eksemplet:

\(z =\frac{(4 + 2i) + (2 - i)}{(2 + 2i)(2 + i)}\)

Forenkle først tælleren:

\((4 + 2i) + (2 - i) =6 + i\)

Så nævneren:

\(\begin{aligned} (2 + 2i)(2 + i) &=4 + 4i + 2i + 2i^2 \newline &=(4 - 2) + 6i \newline &=2 + 6i\end{aligned}\)

Brøken bliver:

\(z =\frac{6 + i}{2 + 6i}\)

Multiplicer tæller og nævner med konjugatet af nævneren (2 – 6i ):

\(\begin{aligned} z &=\frac{(6 + i)(2 - 6i)}{(2 + 6i)(2 - 6i)} \newline &=\frac{12 + 2i - 36i - 6i^2}{4 + 12i - 12i - 36i^2} \c{1-8-0} &={0} \frac{9}{20} - \frac{17}{20}i\end{aligned}\)

Så den forenklede form er:

\(z =\frac{9}{20} - \frac{17}{20}i\)