Halvvinkel trigonometriske identiteter:teori, formler og trinvise eksempler

cyano66/iStock/GettyImages

Når du først dykker ned i trigonometri, vil du støde på et kraftfuldt sæt værktøjer kaldet halvvinkelidentiteter. Disse formler lader dig oversætte trigonometriske udtryk, der involverer θ /2 til udtryk, der bruger den mere velkendte vinkel θ . I praksis hjælper de dig med enten at forenkle et udtryk eller beregne den nøjagtige værdi af en trigonometrisk funktion, når argumentet er halvdelen af en velkendt vinkel.

Kerne halvvinkelidentiteter

Nedenfor er de primære identiteter, du skal bruge. Mens mange tekster præsenterer dem i én form, kan hver af dem algebraisk transformeres til flere nyttige variationer.

Halvvinkelidentitet for sinus

\(\sin\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =±\sqrt{\frac{1 – \cosθ}{2}}\)

Halvvinkelidentitet for Cosinus

\(\cos\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =±\sqrt{\frac{1 + \cosθ}{2}}\)

Halvvinkelidentiteter for Tangent

\(\tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =±\sqrt{\frac{1 -\cosθ}{1 + \cosθ}}\)

\(\tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\frac{\sinθ}{1 + \cosθ}\)

\(\tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\frac{1 – \cosθ}{\sinθ}\)

\(\tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\cscθ – \cotθ\)

Halvvinkelidentiteter for Cotangens

\(\cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =±\sqrt{\frac{1 + \cosθ}{1 – \cosθ}}\)

\(\cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\frac{\sinθ}{1 – \cosθ}\)

\(\cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\frac{1 + \cosθ}{\sinθ}\)

\(\cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\cscθ + \cotθ\)

Praktisk eksempel:Beregning af sin15°

Lad os gennemgå, hvordan du anvender disse identiteter for at finde den nøjagtige værdi af sin15° , en vinkel, der ikke er en del af standardfamilien på 30°, 45° eller 60°.

1. Udtryk vinklen som halvdelen af en kendt værdi

Indstil θ /2 =15°, hvilket giver θ =30°. Da 30° er en velkendt vinkel, kan vi bruge sinushalvvinkelidentiteten.

2. Vælg den relevante formel

Fordi vi har brug for synd , vi bruger:\(\sin\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =±\sqrt{\frac{1 – \cosθ}{2}}\)

3. Løs ±-tegnet

Tegnet afhænger af kvadranten. Her θ =30° ligger i QuadrantI, hvor sinus er positiv, så vi dropper den negative mulighed.

4. Erstat kendte værdier

Udskift cos30° med dens nøjagtige værdi \(\sqrt{3}/2\) :\(\sin(15°) =\sqrt{\frac{1 – \sqrt{3}/2}{2}}\)

5. Forenkle

Multiplicer tæller og nævner inde i roden med 2 for at slette brøken:\(\sin(15°) =\sqrt{\frac{2(1 – \sqrt{3}/2)}{4}}\)

Hvilket forenkler til:\(\sin(15°) =\sqrt{\frac{2 – \sqrt{3}}{4}}\)

Faktorer til sidst kvadratroden af 4:\(\sin(15°) =\frac{1}{2}\sqrt{2 – \sqrt{3}}\)

Således er den nøjagtige værdi af sin15° er \(\frac{1}{2}\sqrt{2 – \sqrt{3}}\) .

Hurtig kvadrantreference til tegnbestemmelse

• QuadrantI:alle funktioner er positive.
• KvadrantII:sinus og cosecant er positive.
• KvadrantIII:tangens og cotangens er positive.
• KvadrantIV:cosinus og sekant er positive.

Ved at følge disse trin kan du trygt anvende halvvinkelidentiteter på ethvert trigonometrisk problem, uanset om du forenkler et udtryk eller finder en nøjagtig værdi.