Donuts matematik:Moonshine kaster lys over elliptiske kurver

Matematikere har åbnet et nyt kapitel i teorien om måneskin, en, der begynder at udnytte kraften fra pariaerne - sporadiske simple grupper, som tidligere ikke havde nogen kendt anvendelse.

"Vi har fundet en ny form for måneskin, som i matematik refererer til en idé, der er så langt ude, at den lyder som galskab, " siger Ken Ono, talteoretiker ved Emory University. "Og vi har brugt dette måneskin til at vise den matematiske anvendelighed af O'Nan-pariagruppen på en måde, der flytter den fra teori til virkelighed. Det viser sig, at O'Nan-gruppen kender dyb information om elliptiske kurver."

Naturkommunikation offentliggjort repræsentationsteorien for O'Nan-gruppen udviklet af Ono, John Duncan (også en talteoretiker ved Emory) og Michael Mertens (en tidligere postdoktor ved Emory, der nu er på universitetet i Köln).

"Vi har vist, at O'Nan-gruppen, en meget stor pariagruppe, organiserer faktisk elliptiske kurver på en smuk og systematisk måde, "Siger Duncan." Og det organiserer dem ikke kun, det giver os mulighed for at se nogle af deres dybeste egenskaber. Den ser uendeligt mange kurver, hvilket giver os mulighed for derefter at bruge vores måneskin til at lave forudsigelser om deres generelle adfærd. Det er vigtigt, fordi disse objekter ligger til grund for nogle af de sværeste spørgsmål lige ved talteoriens horisont."

Elliptiske kurver kan lyde esoterisk, men de er en del af vores daglige liv. De bruges i kryptografi - skabelsen af ​​koder, der er svære at bryde.

En elliptisk kurve er ikke en ellipse, det er snarere en kompleks torus, eller donutform. "Du kan tænke på det som en doughnut sammen med specifikke, delikate konfigurationer af rationelle punkter, der er meget omhyggeligt placeret, "Siger Duncan." Så, på den enkleste måde, det er som en doughnut, du spiser, der kan have drys på. Hele spillet i matematikken med elliptiske kurver er at afgøre, om donuten har drys og, hvis så, hvor præcis drysset er placeret."

I modsætning til en spiselig doughnut, imidlertid, disse matematiske donuts er ikke synlige.

"Forestil dig, at du holder en doughnut i mørket, " siger Ono. "Du ville ikke engang være i stand til at beslutte, om den har noget drys. Men informationen i vores O'Nan-måneskin giver os mulighed for at 'se' vores matematiske donuts klart ved at give os et væld af informationer om punkterne på elliptiske kurver."

Resultaterne er især overraskende, da ingen af ​​pariaerne, som seks af matematikkens sporadiske simple grupper er kendt, havde tidligere optrådt i måneskinsteori, eller andre steder i videnskaben.

Maths originale måneskinteori stammer fra et papir fra 1979 kaldet "Monstrous Moonshine" af John Conway og Simon Norton. Avisen beskrev en overraskende forbindelse mellem et massivt algebraisk objekt kendt som monstergruppen og j-funktionen, et centralt objekt i talteori. I 2015 en gruppe matematikere - inklusive Duncan og Ono - fremlagde bevis for Umbral Moonshine Conjecture, som afslørede 23 andre måneskin, eller mystiske forbindelser mellem dimensionerne af symmetrigrupper og koefficienter for specielle funktioner.

I teoretisk matematik, symmetri kommer i grupper. Symmetriske løsninger er normalt optimale, da de giver dig mulighed for at opdele et stort problem i lige store dele og løse det hurtigere.

Klassificeringen af ​​gruppernes byggesten er samlet i ATLAS of Finite Groups, udgivet i 1985. "ATLAS er ligesom matematikkens version af grundstoffernes periodiske system, men for symmetri i stedet for atomer, " forklarer Duncan.

Både ATLAS og det periodiske system indeholder skæve tegn, der måske - eller måske ikke - findes i naturen.

Fire supertunge grundstoffer med atomnumre over 100, for eksempel, blev opdaget i 2016 og føjet til det periodiske system. "Folk skal arbejde hårdt for at producere disse elementer i partikelacceleratorer, og de forsvinder umiddelbart efter, at de er konstrueret, "Ono siger." Så du må spekulere på, om de virkelig er en del af vores hverdagskemi. "

Pariagrupperne stiller et lignende spørgsmål i matematik. Er de naturlige eller blot teoretiske konstruktioner?

"Vores arbejde viser, for første gang, at en paria er ægte, " siger Ono. "Vi fandt O'Nan-gruppen, der lever i naturen. Vores sætning viser, at den er forbundet med elliptiske kurver, og når du finder en korrespondance mellem to objekter, der tilsyneladende ikke er relaterede, det åbner døren til at lære mere om disse genstande."