Hvorfor har vi brug for at vide om primtal med millioner af cifre?

Primtal er mere end blot tal, der kun kan divideres med sig selv og en. De er et matematisk mysterium, de hemmeligheder, som matematikere har forsøgt at afsløre, lige siden Euklid beviste, at de ingen ende har.

Et igangværende projekt – Great Internet Mersenne Prime Search – som har til formål at opdage flere og flere primtal af en særlig sjælden art, har for nylig resulteret i opdagelsen af ​​det største primtal kendt til dato. strækker sig til 23, 249, 425 cifre, den er så stor, at den nemt ville fylde 9, 000 bogsider. Til sammenligning, antallet af atomer i hele det observerbare univers anslås til ikke at have mere end 100 cifre.

Nummeret, simpelthen skrevet som 2⁷⁷²³²⁹¹⁷-1 (to i potensen 77, 232, 917, minus én) blev fundet af en frivillig, der havde dedikeret 14 års computertid til bestræbelsen.

Du undrer dig måske, hvis tallet strækker sig til mere end 23 m cifre, hvorfor skal vi vide om det? De vigtigste tal er vel dem, vi kan bruge til at kvantificere vores verden? Det er ikke tilfældet. Vi skal kende til egenskaberne ved forskellige tal, så vi ikke kun kan fortsætte med at udvikle den teknologi, vi er afhængige af, men hold det også sikkert.

Hemmeligholdelse med primtal

En af de mest udbredte anvendelser af primtal i computere er RSA-krypteringssystemet. I 1978, Ron Rivest, Adi Shamir og Leonard Adleman kombinerede nogle enkle, kendte fakta om tal for at skabe RSA. Systemet, de udviklede, giver mulighed for sikker transmission af information – såsom kreditkortnumre – online.

Den første ingrediens, der kræves til algoritmen, er to store primtal. Jo større tal, jo sikrere er krypteringen. De tæller tal et, to, tre, fire, og så videre – også kaldet de naturlige tal – er, naturligvis, yderst nyttigt her. Men primtallene er byggestenene i alle naturlige tal og så endnu vigtigere.

Tag tallet 70 for eksempel. Division viser, at det er produktet af to og 35. Yderligere, 35 er produktet af fem og syv. Så 70 er produktet af tre mindre tal:to, fem, og syv. Dette er vejens ende for 70, da ingen af ​​disse kan nedbrydes yderligere. Vi har fundet de primære komponenter, der udgør 70, giver sin primære faktorisering.

gange to tal, selvom det er meget stort, er måske trættende, men en ligetil opgave. At finde primfaktorisering, på den anden side, er ekstremt hårdt, og det er netop, hvad RSA-systemet udnytter.

Antag, at Alice og Bob ønsker at kommunikere hemmeligt over internettet. De kræver et krypteringssystem. Hvis de først mødes personligt, de kan udtænke en metode til kryptering og dekryptering, som kun de kender, men hvis den første kommunikation er online, de skal først åbenlyst kommunikere selve krypteringssystemet - en risikabel forretning.

Imidlertid, hvis Alice vælger to store primtal, beregner deres produkt, og kommunikerer dette åbent, at finde ud af, hvad hendes oprindelige primtal var, vil være en meget vanskelig opgave, da kun hun kender faktorerne.

Så Alice kommunikerer sit produkt til Bob, at holde sine faktorer hemmelige. Bob bruger produktet til at kryptere sin besked til Alice, som kun kan dekrypteres ved hjælp af de faktorer, som hun kender. Hvis Eva aflytter, hun kan ikke tyde Bobs besked, medmindre hun tilegner sig Alices faktorer, som aldrig blev kommunikeret. Hvis Eve forsøger at opdele produktet i dets primære faktorer - selv ved hjælp af den hurtigste supercomputer - eksisterer der ingen kendt algoritme, der kan opnå det, før solen eksploderer.

Den oprindelige søgen

Store primtal bruges også fremtrædende i andre kryptosystemer. Jo hurtigere computere bliver, jo større tal kan de knække. Til moderne applikationer, primtal, der måler hundredvis af cifre, er tilstrækkeligt. Disse tal er minimale i forhold til den gigant, der for nylig blev opdaget. Faktisk, den nye prime er så stor, at - på nuværende tidspunkt - ingen tænkelige teknologiske fremskridt inden for computerhastighed kunne føre til et behov for at bruge det til kryptografisk sikkerhed. Det er endda sandsynligt, at de risici, som de truende kvantecomputere udgør, ikke behøver sådanne monsternumre for at blive gjort sikre.

Det er hverken sikrere kryptosystemer eller forbedrede computere, der drev den seneste Mersenne-opdagelse, imidlertid. Det er matematikeres behov for at afdække juvelerne inde i kisten mærket "primtal", der giver næring til den igangværende søgen. Dette er et primært ønske, der starter med at tælle én, to, tre, og driver os til forskningens grænser. At online handel er blevet revolutioneret er nærmest et tilfælde.

Den berømte britiske matematiker Godfrey Harold Hardy sagde:"Ren matematik er i det hele taget tydeligt mere nyttig end anvendt. For det, der frem for alt er nyttigt, er teknik, og matematisk teknik undervises hovedsageligt gennem ren matematik". Uanset om enorme primtal, såsom den 50. kendte Mersenne prime med sine millioner af cifre, nogensinde vil blive fundet nyttig er, i det mindste for Hardy, et irrelevant spørgsmål. Fordelen ved at kende disse tal ligger i at slukke den menneskelige races intellektuelle tørst, der startede med Euklids bevis på uendeligheden af ​​primtal og stadig fortsætter i dag.

Denne artikel blev oprindeligt publiceret på The Conversation. Læs den originale artikel.