Hvorfor primtal stadig fascinerer matematikere, 2, 300 år senere

Den 20. marts, Amerikansk-canadiske matematiker Robert Langlands modtog Abel-prisen, fejre levetid i matematik. Langlands forskning demonstrerede, hvordan begreber fra geometri, algebra og analyse kunne bringes sammen ved en fælles forbindelse til primtal.

Når Norges konge overrækker prisen til Langlands i maj, han vil ære det seneste i en 2, 300 års indsats for at forstå primtal, uden tvivl det største og ældste datasæt i matematik.

Som matematiker dedikeret til dette "Langlands -program, "Jeg er fascineret af primtalernes historie og hvordan de seneste fremskridt driller deres hemmeligheder ud. Hvorfor har de betaget matematikere i årtusinder?

Sådan finder du primtal

At studere primtal, matematikere belaster hele tal gennem det ene virtuelle net efter det andet, indtil der kun er primtal tilbage. Denne sigtningsproces producerede tabeller med millioner af primtal i 1800'erne. Det giver nutidens computere mulighed for at finde milliarder af primtal på mindre end et sekund. Men kernetanken om sigten har ikke ændret sig i over 2, 000 år.

"Et primtal er det, der måles af enheden alene, "Matematiker Euclid skrev i 300 f.Kr. Det betyder, at primtal ikke kan deles jævnt med et mindre tal, undtagen 1. matematikere tæller ikke 1 selv som et primtal.

Euclid beviste uendeligheden af ​​primtal - de fortsætter for evigt - men historien antyder, at det var Eratosthenes, der gav os sigten til hurtigt at liste primtalerne.

Her er tanken om sigten. Først, filtrer multipler af 2 ud, derefter 3, derefter 5, derefter 7 - de fire første primtal. Hvis du gør dette med alle tal fra 2 til 100, kun primtal forbliver.

Med otte filtreringstrin, man kan isolere primtalerne op til 400. Med 168 filtreringstrin, man kan isolere primtalerne op til 1 mio. Det er kraften i Eratosthenes sigte.

Tabeller og borde

En tidlig figur i tabulering af primtal er John Pell, en engelsk matematiker, der dedikerede sig til at lave tabeller med nyttige tal. Han var motiveret til at løse gamle aritmetiske problemer med Diophantos, men også ved en personlig søgen efter at organisere matematiske sandheder. Takket være hans indsats, primtalerne op til 100, 000 blev udbredt i begyndelsen af ​​1700'erne. I 1800, uafhængige projekter havde tabuleret primtalerne op til 1 mio.

For at automatisere de kedelige sigtetrin, en tysk matematiker ved navn Carl Friedrich Hindenburg brugte justerbare skydere til at stemple multipla på tværs af en hel side af et bord på én gang. En anden lavteknologisk, men effektiv tilgang brugte stenciler til at lokalisere multiplerne. I midten af ​​1800-tallet, matematiker Jakob Kulik var gået i gang med et ambitiøst projekt for at finde alle primtalerne op til 100 mio.

Disse "big data" fra 1800 -tallet havde muligvis kun tjent som referencetabel, hvis Carl Friedrich Gauss ikke havde besluttet at analysere primtalerne for deres egen skyld. Bevæbnet med en liste over primtal op til 3 millioner, Gauss begyndte at tælle dem, en "chiliad, "eller en gruppe på 1000 enheder, på et tidspunkt. Han tællede primtalerne op til 1, 000, derefter primtalerne mellem 1, 000 og 2, 000, derefter mellem 2, 000 og 3, 000 og så videre.

Gauss opdagede, at da han tællede højere, primtalene bliver gradvist mindre hyppige ifølge en "invers-log" lov. Gauss lov viser ikke præcist, hvor mange primtal der er, men det giver et ret godt skøn. For eksempel, hans lov forudsiger 72 primtal mellem 1, 000, 000 og 1, 001, 000. Det korrekte antal er 75 primtal, omkring en 4 procent fejl.

Et århundrede efter Gauss 'første udforskninger, hans lov blev bevist i "primtal -sætningen". Procentfejlen nærmer sig nul ved større og større primtalområder. Riemann -hypotesen, et millionproblem i dag, beskriver også, hvor nøjagtigt Gauss 'estimat egentlig er.

Primtalesætningen og Riemann -hypotesen får opmærksomheden og pengene, men begge fulgte op tidligere, mindre glamourøs dataanalyse.

Moderne hovedmysterier

I dag, vores datasæt kommer fra computerprogrammer frem for håndskårne stenciler, men matematikere finder stadig nye mønstre i primtal.

Bortset fra 2 og 5, alle primtal ender på cifret 1, 3, 7 eller 9. I 1800 -tallet, det blev bevist, at disse mulige sidste cifre er lige hyppige. Med andre ord, hvis du ser på primtalene op til en million, omkring 25 procent ender på 1, 25 procent ender på 3, 25 procent ender på 7, og 25 procent ender på 9.

Et par år siden, Stanford -talteoretikere Lemke Oliver og Kannan Soundararajan blev fanget af vagt af finurligheder i de sidste cifre i primtal. Et eksperiment kiggede på det sidste ciffer i en primtal, samt det sidste ciffer i den næste prime. For eksempel, næste primtal efter 23 er 29:Man ser en 3 og derefter en 9 i deres sidste cifre. Ser man 3 derefter 9 oftere end 3 derefter 7, blandt de sidste cifre i primtal?

Talteoretikere forventede en vis variation, men hvad de fandt langt oversteg forventningerne. Primer adskilles af forskellige huller; for eksempel, 23 er seks tal væk fra 29. Men 3-derefter-9 primtal som 23 og 29 er langt mere almindelige end 7-derefter-3 primtal, selvom begge kommer fra et hul på seks.

Matematikere fandt hurtigt en sandsynlig forklaring. Men, når det kommer til studiet af successive primtal, matematikere er (for det meste) begrænset til dataanalyse og overtalelse. Beviser - matematikernes guldstandard for at forklare, hvorfor tingene er sande - synes at være årtier væk.

Denne artikel blev oprindeligt offentliggjort på The Conversation. Læs den originale artikel.