Forskere udvikler første matematiske bevis for nøgleloven om turbulens i væskemekanik

Hvad hvis ingeniører kunne designe et bedre jetfly med matematiske ligninger, der drastisk reducerer behovet for eksperimentel test? Eller hvad hvis vejrudsigelsesmodeller kunne forudsige detaljer i varmebevægelsen fra havet til en orkan? Disse ting er umulige nu, men kunne være muligt i fremtiden med en mere fuldstændig matematisk forståelse af turbulenslovene.

University of Maryland matematikere Jacob Bedrossian, Samuel Punshon-Smith og Alex Blumenthal har udviklet det første strenge matematiske bevis, der forklarer en grundlæggende turbulenslov. Beviset for Batchelors lov vil blive fremlagt på et møde i Selskabet for Industriel og Anvendt Matematik den 12. december, 2019.

Selvom alle fysikkens love kan beskrives ved hjælp af matematiske ligninger, mange er ikke understøttet af detaljerede matematiske beviser, der forklarer deres underliggende principper. Et område af fysik, der er blevet anset for at være for udfordrende til at forklare med streng matematik, er turbulens. Set i havets surf, bølgende skyer og kølvandet bag et fartkøretøj, turbulens er den kaotiske bevægelse af væsker (inklusive luft og vand), der inkluderer tilsyneladende tilfældige ændringer i tryk og hastighed.

Turbulens er årsagen til Navier-Stokes ligninger, som beskriver, hvordan væsker strømmer, er så svære at løse, at der er en millionbelønning til enhver, der kan bevise dem matematisk. For at forstå væskestrømmen, videnskabsmænd skal først forstå turbulens.

"Det burde være muligt at se på et fysisk system og matematisk forstå, om en given fysisk lov er sand, " sagde Jacob Bedrossian, en professor i matematik ved UMD og medforfatter til beviset. "Vi mener, at vores bevis giver grundlaget for at forstå, hvorfor Batchelors lov, en nøglelov om turbulens, er sandt på en måde, som intet teoretisk fysikarbejde hidtil har gjort. Dette arbejde kunne hjælpe med at tydeliggøre nogle af de variationer, der ses i turbulenseksperimenter og forudsige de indstillinger, hvor Batchelors lov gælder såvel som hvor den ikke gør det."

Siden introduktionen i 1959, fysikere har diskuteret gyldigheden og rækkevidden af ​​Batchelors lov, som hjælper med at forklare, hvordan kemiske koncentrationer og temperaturvariationer fordeler sig i en væske. For eksempel, omrøring af fløde i kaffe skaber en stor hvirvel med små hvirvler, der forgrener sig fra det, og endnu mindre, der forgrener sig fra dem. Mens cremen blandes, hvirvlerne bliver mindre, og detaljeniveauet ændres ved hver skala. Batchelors lov forudsiger detaljerne i disse hvirvler i forskellige skalaer.

Loven spiller en rolle i sådanne ting som kemikalier, der blandes i en opløsning, flodvand blandes med saltvand, når det strømmer ud i havet, og varmt Gulfstream-vand kombineres med køligere vand, når det strømmer mod nord. I årenes løb, mange vigtige bidrag er blevet givet for at hjælpe med at forstå denne lov, herunder arbejde ved UMD af de fornemme universitetsprofessorer Thomas Antonsen og Edward Ott. Imidlertid, et komplet matematisk bevis for Batchelors lov er forblevet uhåndterligt.

"Før arbejdet med professor Bedrossian og hans medforfattere, Batchelors lov var en formodning, sagde Vladimir Sverak, en professor i matematik ved University of Minnesota, som ikke var involveret i arbejdet. "Formodningen blev understøttet af nogle data fra eksperimenter, og man kunne spekulere i, hvorfor sådan en lov skulle holde. Et matematisk bevis for loven kan betragtes som et ideelt konsistenstjek. Det giver os også en bedre forståelse af, hvad der virkelig foregår i væsken, og dette kan føre til yderligere fremskridt."

"Vi var ikke sikre på, om dette kunne lade sig gøre, " sagde Bedrossian, der også har en fælles ansættelse i UMD's Center for Scientific Computation and Mathematical Modeling. "De universelle love om turbulens blev anset for at være for komplekse til at løse matematisk. Men vi var i stand til at knække problemet ved at kombinere ekspertise fra flere områder."

En ekspert i partielle differentialligninger, Bedrossian hentede to UMD-postdoktorale forskere, som er eksperter på tre andre områder, for at hjælpe ham med at løse problemet. Samuel Punshon-Smith (Ph.D. '17, anvendt matematik og statistik, og videnskabelig beregning), nu Prager Assistant Professor ved Brown University, er ekspert i sandsynlighed. Alex Blumenthal er ekspert i dynamiske systemer og ergodisk teori, en gren af ​​matematikken, der omfatter det, der almindeligvis er kendt som kaosteori. Holdet repræsenterede fire forskellige områder af matematisk ekspertise, som sjældent interagerer i denne grad. Alle var afgørende for at løse problemet.

"Den måde, problemet er blevet grebet an på, er faktisk kreativ og innovativ, " sagde Sverak. "Nogle gange kan bevismetoden være endnu vigtigere end selve beviset. Det er sandsynligt, at ideer fra artiklerne fra professor Bedrossian og hans medforfattere vil være meget nyttige i fremtidig forskning."

Det nye niveau af samarbejde, som holdet bragte til dette problem, sætter scenen for udvikling af matematiske beviser til at forklare andre ubeviste love om turbulens.

"Hvis dette bevis er alt, hvad vi opnår, Jeg synes, vi har opnået noget, " sagde Bedrossian. "Men jeg håber, at dette er en opvarmning, og at dette åbner en dør til at sige 'Ja, vi kan bevise universalitetslove om turbulens, og de er ikke uden for matematikkens område.' Nu hvor vi er udstyret med en meget klarere forståelse af, hvordan man bruger matematik til at studere disse spørgsmål, vi arbejder på at bygge de matematiske værktøjer, der kræves for at studere flere af disse love."

At forstå de underliggende fysiske principper bag flere turbulenslove kunne i sidste ende hjælpe ingeniører og fysikere med at designe bedre køretøjer, vindmøller og lignende teknologier eller ved at lave bedre vejr- og klimaforudsigelser.