Matematiker opdager betingelser for stabilisering af højere ordens differentialuligheder

En matematiker fra RUDN-universitetet (Rusland) og en kollega har fastlagt betingelserne for stabilisering af differentielle uligheder, der har en høj orden. Dette resultat vil gøre det muligt for matematikere at opnå restriktioner på løsninger af ligninger, der beskriver nogle fysiske processer, såsom diffusionsprocesser og konvektionsprocesser. Artiklen er publiceret i tidsskriftet Asymptotisk analyse .

Interessen for differentielle uligheder opstår fra et stort antal matematiske modelleringsproblemer inden for naturvidenskab, samt i løsning af tekniske og fysiske problemer. Det er ofte nødvendigt at definere flere funktioner relateret til flere differentielle uligheder. Det er nødvendigt at have det samme antal uligheder for at gøre dette. Hvis hver af disse uligheder er differentiel, det er, har form af en relation, der forbinder ukendte funktioner og deres afledte, dette er et system af differentierede uligheder. Systemer med differentielle uligheder beskriver virkelige fysiske processer med en vis grad af nøjagtighed (f.eks. enheder, der registrerer fysiske fænomener, er ikke perfekte og har nogle fejl). Det kan vise sig, at en lille fejl i de indledende data forårsager væsentlige ændringer i løsningen af ​​uligheden. Derfor, det er vigtigt at sætte grænser for løsninger af differentialligninger.

Andrey Shishkov fra S.M. Nikol'skii Mathematical Institute ved RUDN University og Andrej Kon'kov fra Moscow State University opnåede resultatet, som generaliserer den klassiske Keller-Osserman-betingelse for differentialligninger. Keller-Osserman-sætningen indeholder betingelser for fravær af positive løsninger for andenordens ikke-lineære elliptiske uligheder. Denne teorem tjener som grundlag for undersøgelser af fraværet af løsninger til ligninger og uligheder. I øvrigt, for højordens differentialoperatører, alle tidligere kendte undersøgelser var begrænset til tilfældet med magt ikke-linearitet. Tilfældet med vilkårlig ikke-linearitet er kun blevet undersøgt for andenordens operatører. Matematikere har forsket i differentielle uligheder af højere orden, og deres resultat gælder for en bred klasse af problemer - ligninger af anden og tredje orden.

Resultaterne kan anvendes på både parabolske og såkaldte anti-parabolske uligheder. Parabolligninger er udbredte i fysik:Disse inkluderer ligninger, der beskriver konvektionsprocesserne, diffusion og dens særlige tilfælde - varmeledningsligningen; Navier-Stokes ligningssystem, der beskriver bevægelsen af ​​væsker og gasser, er et system af parabolske ligninger med divergerende begrænsninger.

Spørgsmålene blev tidligere primært undersøgt for andenordens differentialoperatorer, og tilfældet med operatører af højere orden er meget mindre undersøgt. Matematikere forskede i højere ordens differentiale uligheder og opnåede tilstrækkelige stabiliseringsbetingelser for såkaldte svage løsninger af differentielle uligheder. På samme tid, startbetingelserne er ikke fastsat på løsningerne af den undersøgte differentialulighed. Forfatterne fastsætter heller ikke elliptiske betingelser på koefficienterne for differentialoperatoren.