En matematiklærers bøn:Lad os holde pi irrationel

Computere har hjulpet matematisk forskning med at accelerere i flere retninger og øget tilstedeværelsen af ​​matematik i hverdagen.

Teknologiens rolle i undervisning og læring af matematik tænker mig mere og mere som matematikinstruktør, der ser nye studerende ankomme til Simon Fraser University (SFU) hvert år. Både på SFU, og når jeg besøger canadiske matematikklasser som gæstetaler, Jeg kigger ud i rum fyldt med livlige unge mennesker omgivet af lommeregnere, computere og smartphones.

Og det er okay. Ligesom mange matematikere, Jeg har ikke skubbet tilbage mod de nye teknologiske vinde, som moderne tid har ført frem. Men sådan teknologi bør forbedre og udvide, i stedet for at erstatte, evnen til at tænke matematisk.

Adieu geometri?

For nylig, Jeg mødtes med en ung person, der var interesseret i matematik og edb, men jeg er ikke sikker på, hvilken retning han gerne vil gå i. Jeg tilbød følgende problem, der blev brugt af University of Oxford til at interviewe kandidater i matematik:"Forestil dig en stige, der læner sig op ad en lodret mur med fødderne på jorden. Det midterste trin af stigen er blevet malet i en anden farve på siden, så vi kan se det, når vi ser på stigen fra siden af. Hvilken form viser det midterste trin, når stigen falder til gulvet?"

En måde at nærme sig stigepuslespillet på er at bruge, på en forholdsvis enkel måde, Euklidisk geometri, for at vise, at svaret er en kvart cirkel. Se nedenunder:

I stedet for at trække på geometriske egenskaber, den unge mand brugte Python-programmeringssproget til at animere problemet og finde den nødvendige form. Han havde lært Python på egen hånd tidligere samme sommer. Da jeg spurgte ham om kongruente trekanter, den unge mand så forvirret ud.

Situationer som denne får mig til at frygte, at hvis de ikke bruges med behørig omhu i klasseværelserne, teknologi kan fratage eleverne fuldt ud at udvikle deres regnefærdigheder og rumlige færdigheder.

Uopnåelige problemer

Hvad matematikere kalder "den beregningsassisterede tilgang" har gjort det muligt for forskere at udforske og løse matematiske problemer, som ellers ville være uopnåelige. Det computerstøttede bevis på den berømte firefarvesætning kommer til at tænke på.

Men nogle matematiske spørgsmål har vist begrænsninger af eksisterende teknologi - og det faktum, at nogle løsninger i høj grad afhænger af menneskelig intuition, inspiration og intelligens. Et sådant problem, kendt som partiproblemet (ja, som i et middagsselskab), er at finde det antal gæster, der ville garantere, at man altid kan finde seks personer, der er fælles venner eller seks personer, der er fælles fremmede.

I matematiske termer, dette problem handler om at finde det, der kaldes "Ramsey-nummeret R(6, 6), " relateret til en gren af ​​matematikken, der studerer, hvilke betingelser der skal eksistere for at et givet mønster kan opstå.

Tro det eller ej, siden 1930 har matematikere vidst, at R(6, 6) eksisterer; siden 1994 har vi vidst, at dette tal er mellem 102 og 165.

Ingen fremskridt siden!

Eksperimentel matematik

Berømte canadiske matematikere og brødre Peter Borwein og Jonathan Borwein - som etablerede Center for Eksperimentel og Konstruktiv Matematik i 1993 på SFU - var blandt forskningspionerer, der bidrog til processen med at tilpasse matematik og nye teknologier.

Som foreslået af Jonathan Borwein og matematiker David H. Bailey, eksperimentel matematik bruger "en beregningsassisteret tilgang til matematisk forskning." De mente, at eksperimentel matematik handler om at bruge computere til at booste processer, der har været de grundlæggende elementer i matematisk forskning i århundreder:

1. At få indsigt og intuition
2. Visualisering af matematiske principper
3. At opdage nye relationer
4. Afprøvning og især forfalskning af formodninger
5. Udforskning af et muligt resultat for at træffe en evidensbaseret beslutning, hvis det mulige resultat fortjener et formelt bevis
6. Foreslå tilgange til formel bevis

De hævdede også, at computere kunne hjælpe med at udføre lange matematiske udledninger og bekræfte analytisk afledte resultater.

Deres pointe var, at computere gør det muligt for forskere at skubbe deres udforskninger ind i nye eller anderledes dimensioner.

Ny udforskning

Bailey og Borweins ideer kan bruges til at hjælpe med at beskrive nutidige og fremtidige måder at undervise i matematik på for at hjælpe eleverne med at se på problemer på nye måder.

I min geometri-Python anekdote, Jeg kunne have udfordret eleven ved at observere, at formen opnået af den Python-genererede animation kun ligner en kvart cirkel (dette kan referere til punkt 1-3 og 5 i Bailey-Borwein definitionen), og at et fuldstændigt svar ville kræve en analytisk udledt resultat (punkt 6).

For at retfærdiggøre udfordringen, Jeg kan også vælge at vise eleven et tilsyneladende tankevækkende visuelt bevis, såsom animationen, der "viser" 64 =65.

Jeg kunne slutte med at citere matematikeren og filosoffen René Descartes fra det 17. århundrede, som besluttede:"... aldrig at acceptere noget for sandt, som jeg ikke klart vidste var sådan; det vil sige, omhyggeligt … undgå … fordomme, og ikke at omfatte mere i min dømmekraft end det, der blev præsenteret for mit sind så klart og tydeligt, at det udelukker enhver grund til tvivl."

Eksperimentel matematik læseplaner

Forskere og undervisere har udviklet læseplaner med speciale i at lære børn og unge, hvordan man bruger computere til at forbedre og udvide deres egen matematiske læring og tænkning i canadiske gymnasier. For eksempel, RabbitMath Curriculum Project, ledet af matematiker Peter Taylor fra Queen's University og Chris Suurtamm fra University of Ottawa, eller Callysto-projektet, forkæmpet af Pacific Institute for Mathematical Sciences (PIMS) og den Alberta-baserede non-profit organisation Cybera.

Udfordringen for matematiklærersamfundet vil i stigende grad handle om at skabe og opretholde en sund balance i vores klasseværelser mellem kraften i strenge, formel matematik og computerkraften.

Når jeg tænker på fremtiden, Jeg er bekymret for, at de stringente og formelle dele af matematik kan forsvinde og efterlades uden for elevernes rækkevidde.

For en studerende i en ikke alt for fjern fremtid, ville, for eksempel, tallet pi bliver et rationelt tal – hvilket betyder, ville det være lig med dets tilnærmelse genereret af den mest kraftfulde computer i øjeblikket?

Mest vigtigt, hvad vil alt dette betyde for elever og deres læring af matematik som et instrument til bedre at navigere i verden omkring dem?

Denne artikel er genudgivet fra The Conversation under en Creative Commons-licens. Læs den originale artikel.