Matematisk epidemiologi:Sådan modelleres en pandemi

Sygdom har ramt mennesker lige siden der har været mennesker. Malaria og tuberkulose menes at have hærget det gamle Egypten mere end 5, 000 år siden. Fra 541 til 542 e.Kr. anslås den globale pandemi kendt som "Justinians pest" at have dræbt 15-25% af verdens 200 millioner befolkning. Efter den spanske erobring af Mexico, den indfødte befolkning faldt fra omkring 30 millioner i 1519 til kun tre millioner 50 år senere. I dag kæmper vi for at kontrollere spredningen af ​​COVID-19, som har potentialet til at forårsage den mest dødelige pandemi i menneskehedens historie.

Der er, imidlertid, et lidet kendt, men meget succesfuldt videnskabsområde, der arbejder i baggrunden for at fjerne mysterierne bag smitsomme sygdomme. Mens jeg udforsker i The Maths of Life and Death, matematisk epidemiologi spiller en afgørende rolle i kampen mod storstilede infektionssygdomme som COVID-19.

Med grundlæggende matematiske modeller, forskere kan begynde at forudsige udviklingen af ​​sygdomme og forstå effekten af ​​interventioner på sygdomsspredning. Med mere komplekse modeller, vi kan begynde at besvare spørgsmål om, hvordan man effektivt allokerer begrænsede ressourcer eller driller konsekvenserne af folkesundhedsinterventioner, som at lukke værtshuse og forbyde sammenkomster.

Indsigt fra matematisk modellering er afgørende for at sikre, at myndigheder kan forhindre så mange dødsfald som muligt. I takt med at COVID-19-pandemien eskalerer, her er et kig ind i den modellering, som eksperter bruger til at forsøge at være et skridt foran virussen.

S-I-R modellen

En af de enkleste matematiske modeller for sygdomsspredning opdeler befolkningen i tre grundlæggende kategorier efter sygdomsstatus. Mennesker, der endnu ikke har haft sygdommen, mærkes som "modtagelige". Alle antages at være født modtagelige og i stand til at blive smittet. De, der har fået sygdommen og er i stand til at overføre den til modtagelige, er de "smittede". Den tredje gruppe omtales eufemistisk som den "fjernede" klasse. Det er de mennesker, der har haft sygdommen og kommet sig og nu er immune, eller dem, der er døde. Disse "fjernede" individer bidrager ikke længere til spredningen af ​​sygdommen.

Dette kaldes S-I-R-modellen. Fra denguefeber i Latinamerika til svinepest i Holland og norovirus i Belgien, S-I-R-modellen kan give vigtige lektioner for, hvordan man forhindrer spredning af sygdomme.

Denne model illustrerer vigtigheden af ​​social isolation for de smittede. Ved at blive hjemme, indtil man er helt restitueret, du tager effektivt dig selv fra den inficerede klasse direkte til den fjernede klasse uden at blive smittet med virussen. Denne enkle handling kan reducere størrelsen af ​​et udbrud ved at reducere mulighederne for, at sygdommen kan overføres til modtagelige personer.

Hvorvidt et udbrud spreder sig eller dør ud, er i høj grad dikteret af et enkelt tal, som er unikt for det pågældende udbrud - det grundlæggende reproduktionsnummer.

Tænk på en befolkning, der er fuldstændig modtagelig for en bestemt sygdom - ligesom den globale befolkning i december 2019, i starten af ​​COVID-19-udbruddet. Det gennemsnitlige antal tidligere ueksponerede individer inficeret af en enkelt, frisk introduceret sygdomsbærer er kendt som det grundlæggende reproduktionsnummer, og ofte betegnet R0 (udtales "R-ingen" eller "R-nul").

Hvis en sygdom har en R₀ mindre end en, så vil infektionen hurtigt dø ud, efterhånden som hver smitsom person overfører sygdommen, gennemsnitlig, til mindre end én anden person. Udbruddet kan ikke opretholde sin egen spredning. Hvis R₀ er større end en, vil udbruddet vokse eksponentielt.

Eksponentiel eksplosion

Tidlige estimater af det grundlæggende reproduktionstal for COVID-19 sætter det et sted mellem 1,5 og 4, med en værdi på mindst 2 i december og januar. Med et grundlæggende gengivelsesnummer på 2, den første person med sygdommen spreder den til to andre, hvem hver, gennemsnitlig, sprede sygdommen til to andre og derefter til to andre hver, og så videre.

Denne eksponentielle vækst er karakteristisk for den indledende fase af infektionen. Hvis spredningen fik lov til at fortsætte sådan, ti generationer ned i udviklingskæden, over 1, 000 mennesker ville blive smittet. Ti skridt videre, vejafgiften ville stige til over en mio.

I praksis, den eksponentielle vækst forudsagt af det grundlæggende reproduktionstal opretholdes sjældent ud over et par generationer. Udbrud topper til sidst og falder derefter på grund af den faldende hyppighed af kontakter mellem smitsomme og modtagelige.

Selv når der ikke er nogen smitsomme personer tilbage, og udbruddet officielt er forbi, nogle modtagelige stoffer vil forblive. S-I-R-modellen kan give et estimat af den endelige epidemistørrelse - antallet af personer, der er smittet ved slutningen af ​​et udbrud, hvis der ikke blev truffet afhjælpende foranstaltninger. I den nederste ende af estimaterne for COVID-19, et gengivelsestal på 1,5, betyder, at 58 % af befolkningen ville blive smittet. I den højere ende af estimaterne, med en R₀ på 4, S-I-R-modellen forudsiger, at kun 2% af mennesker ville forblive uinficerede, hvis der ikke bliver gjort noget.

Et afgørende tal

Det grundlæggende reproduktionsnummer er nyttigt til at forstå næsten ethvert udbrud, fordi det samler alle finesser af sygdomsoverførsel ind i en enkelt figur. Fra den måde, hvorpå infektionen udvikler sig i kroppen, til transmissionsmåden – og endda strukturen i de samfund, som den spreder sig i – indfanger den alle udbruddets nøgletræk og giver os mulighed for at reagere i overensstemmelse hermed.

R₀ kan typisk opdeles i tre komponenter:størrelsen af ​​befolkningen, den hastighed, hvormed modtagelige personer bliver inficeret (ofte kendt som infektionens kraft), og graden af ​​helbredelse eller død fra sygdommen. Forøgelse af de to første af disse faktorer øger R₀, mens en forøgelse af inddrivelsesraten reducerer den. Jo større befolkning og jo hurtigere smitter sygdommen mellem individer, jo større er udbruddet sandsynligvis. Jo hurtigere individer kommer sig, jo mindre tid de har til at give sygdommen videre til andre og, følgelig, jo lettere vil det være at bringe et udbrud under kontrol.

Så er der effektiv reproduktionsnummer. Dette er det gennemsnitlige antal sekundære infektioner forårsaget af et smitsomt individ på et givet tidspunkt i udbruddets progression. Hvis, ved indgreb, det effektive gengivelsesnummer kan bringes til under én, så vil sygdommen dø ud.

Dødsrate i tilfælde

Selvom det er afgørende for sygdomsbekæmpelse, R₀ fortæller os ikke, hvor alvorlig en sygdom er for et inficeret individ. Andelen af ​​inficerede mennesker, der i sidste ende dør af en sygdom, er kendt som dødsfaldet.

En ekstremt smitsom sygdom såsom mæslinger, med en R0 på mellem 12 og 18, har en relativt lav dødelighedsrate sammenlignet med de 50-70 % af ebolapatienter, der til sidst vil dø af sygdommen. Som resultat, mæslinger anses typisk for at være mindre alvorlige end ebola, selvom ebola har en meget mindre R₀ på omkring 1,5. Tidlige estimater indikerer, at dødsfaldet af COVID-19 er mellem 0,25 % og 3,5 %.

Det er vigtigt at huske, at dødsfaldsraten ikke er fast - det afhænger af samfundets og individernes reaktioner på sygdommen, såvel som på demografien af ​​befolkningen, den inficerer. For eksempel, dødsfald i tilfælde af COVID-19 ser ud til at variere betydeligt med patientens alder, hvor de ældre er værst ramt.

Måske overraskende, sygdomme med høje dødelighedsrater har en tendens til at være mindre smitsomme. Hvis en sygdom dræber for mange af sine ofre for hurtigt, reducerer den dens chancer for at blive videregivet. Sygdomme, der dræber de fleste af de mennesker, de inficerer og også spredes effektivt, er meget sjældne, og er normalt begrænset til katastrofefilm.

Selvom en høj dødsrate i tilfælde af tilfælde i høj grad vækker frygt under et udbrud, sygdomme med høj R₀, men dødelighed med små bogstaver (tænk COVID-19 i sammenligning med ebola) kan ende med at dræbe flere mennesker i kraft af det større antal, de smitter.

Kontrol af et udbrud

En af de mest effektive muligheder for at reducere sygdomsspredning er vaccination. Ved at tage personer direkte fra modtagelige til fjernede, omgå infektionstilstanden, det reducerer effektivt størrelsen af ​​den modtagelige befolkning.

Men vaccination er typisk en forebyggende foranstaltning, der bruges til at reducere sandsynligheden for, at udbrud sker i første omgang. Når udbrud som den nuværende COVID-19-pandemi er i fuld gang, det er ofte upraktisk at udvikle og teste en vaccine inden for en nyttig tidsramme.

Karantæne og isolation kan effektivt reducere transmissionshastigheden og, følgelig, det effektive gengivelsesnummer. Isolering af smitsomme patienter reducerer spredningshastigheden, mens karantæne af raske individer reducerer den effektive modtagelige befolkning.

Begge handlinger bidrager til at reducere det effektive reproduktionsnummer, Derfor er social distancering og selvisolering så vigtige strategier til at tackle COVID-19.

Flokkimmunitet

En idé, som den britiske regering så ud til at lege med i de tidlige dage af deres reaktion, var den om flokimmunitet - konceptet om, at en stor population af immune individer kan bremse eller endda standse spredningen af ​​sygdommen. Overraskende nok, denne samfundseffekt kræver ikke, at alle er immune over for sygdommen, for at hele befolkningen kan beskyttes. Ved at reducere det effektive reproduktionstal til mindre end én – sikre, at inficerede mennesker kontakter så få modtagelige mennesker som muligt – kan smittekæden brydes og sygdommen stoppes i sine spor. Afgørende, flokimmunitet betyder, at mennesker, der er immunkompromitterede, de ældre, gravide kvinder og andre demografiske personer med høj risiko kan drage fordel af den beskyttelse, som andre menneskers immunitet giver.

Den del af befolkningen, der skal være immun for at beskytte resten, varierer afhængigt af, hvor smitsom sygdommen er. Det grundlæggende reproduktionsnummer, R₀, har nøglen til, hvor stor den andel er. Jo højere det grundlæggende gengivelsesnummer er, jo højere skal immunandelen af ​​befolkningen være. For eksempel, for en sygdom med et basisreproduktionstal på 4, S-I-R-modellen forudsiger, at tre fjerdedele af befolkningen skal være immune. Hvis R0 er så lav som 1,5, behøver potentielt kun en tredjedel af befolkningen at erhverve immunitet for at beskytte de resterende to tredjedele.

Hvis en vaccine er tilgængelig, så kan flokimmunitet opnås ved at vaccinere en tilstrækkelig høj andel af befolkningen (som sagt, vi har kun nogensinde formået fuldstændigt at udslette én menneskelig sygdom – kopper – gennem vaccination).

Når en vaccine ikke er tilgængelig, den eneste måde for mennesker at opnå immunitet er at blive smittet med sygdommen og komme sig. I betragtning af dødsfaldet i tilfælde af COVID-19, dette ville medføre mange tusinde menneskers død. Ikke overraskende, den britiske regering gik tilbage på deres foreslåede politik.

Den næste generation af modellering

I virkeligheden, den simple S-I-R-model er ikke kompleks nok til at fange finesserne ved mange infektionssygdomsudbrud. Men for sygdomme, der ikke giver deres ofre immunitet, en simpel tilpasning af S-I-R-modellen kan hjælpe.

Som det er typisk for nogle seksuelt overførte sygdomme, gonoré har ingen fjernet population overhovedet. Efter at være kommet sig over gonoré, patienter kan blive smittet igen. Da ingen dør af symptomerne på gonoré, ingen bliver nogensinde "fjernet" fra befolkningen. Sådanne modeller er typisk mærket S-I-S, efterligner et individs progressionsmønster fra modtagelig til smitsom og tilbage til modtagelig igen. Da befolkningen af ​​modtagelige mennesker aldrig er udmattet, men fornyes efterhånden som folk kommer sig, S-I-S-modellen forudsiger, at sygdomme kan blive selvbærende eller "endemiske".

Om en enkelt infektion med SARS-CoV-2 (virussen, der forårsager COVID-19) var nok til at give immunitet, var en af ​​de største bekymringer for videnskabsmænd i begyndelsen af ​​udbruddet. Kunne den nye virus cirkulere på ubestemt tid i befolkningen? Selvom der har været flere rapporter om mennesker, der har fået virussen for anden gang, der er også gode beviser for, at genoprettede COVID-19-patienter bliver immune.

Et andet problem med den nye coronavirus er, at der typisk er en asymptomatisk periode i starten af ​​sygdommen. I løbet af denne tid, mennesker kan huse virussen og inficere andre uden selv at vise symptomer. Det betyder, at vi skal tilføje endnu en klasse af mennesker til modellen. Det er mennesker, som en gang smittet, er i stand til at overføre sygdommen uden at vise symptomer - den såkaldte "carrier"-klasse. Dette ændrer S-I-R-modellen til en S-C-I-R-model. Bærerklassen er afgørende for at repræsentere sygdomme som HIV/AIDS, som har lange infektionsperioder uden tydelige symptomer.

De state-of-the-art modeller, der i øjeblikket bliver brugt til at informere regeringens politik, er endnu mere komplicerede. Desværre, selv de mest detaljerede og realistiske matematiske modeller er ikke i stand til at forudsige, hvornår den nuværende pandemi vil blive bragt på tværs.

Men det er sikkert, når vi til sidst fravrider kontrollen over situationen, matematikere og deres modeller vil have spillet en væsentlig rolle i den måde, hvorpå dramaet forløb.

Denne artikel er genudgivet fra The Conversation under en Creative Commons-licens. Læs den originale artikel.