At studere abstrakte matematiske ligninger ved hjælp af håndgribelige overflader

Den 5. januar Rosa Winter vil få sin doktorgrad i aritmetisk geometri. Hun forskede i løsninger af ligninger, der definerer såkaldte 'del Pezzo-overflader." "Jeg kan godt lide geometri, fordi jeg kan forestille mig og tegne formerne og objekterne, " siger Winter. "Det får abstrakt matematik til at føles mere håndgribeligt."

I matematik, det er nogle gange nyttigt at studere abstrakte ligninger ved hjælp af geometriske objekter, såsom cirkler, sfærer, oktaeder, eller endda højere dimensionelle objekter. Feltet, der forbinder geometri med abstrakte ligninger, kaldes aritmetisk geometri. Ph.D. kandidat Rosa Winter anvendte denne specifikke type geometri i sit speciale.

Tegning af overflader

Matematiske ligninger kan definere geometriske objekter, hvilket betyder, at det er muligt at studere løsninger til disse ligninger ved hjælp af geometri. For eksempel, hvis du vil vide, hvilke tal du kan indtaste for at gøre x^2+y^2 lig med 4, du kan tegne alle de punkter (løsninger), hvor x^2+y^2=4. Dette resulterer i en cirkel med radius 2, som viser, for eksempel, at punktet x=2, y=0 er en løsning. Du kan også kigge efter specifikke løsninger, lignende punkter på cirklen, hvor x og y er brøker (1/3, 1/5, men også, 0, 2, etc.). Disse fraktionelle løsninger kaldes rationelle punkter. Winter studerede rationelle punkter på overflader. "Overflader er altid todimensionelle, selvom de lever i otte dimensioner, " siger Winter. "Hvilket betyder, at jeg kan tegne overflader, gør den abstrakte matematik mere intuitiv for mig."

Million-dollar spørgsmål

At finde rationelle punkter på geometriske objekter er sjældent let. Dette er vist, for eksempel, ved den såkaldte "Birch and Swinnerton-Dyer-formodning". Denne endnu ubeviste matematiske formodning er en del af Millennium Prize Problems. Clay Mathematics Institute tildeler en million dollars til en korrekt løsning på ethvert af disse problemer. Formodningen handler om rationelle punkter på elliptiske kurver. Ligesom cirkler, elliptiske kurver er geometriske objekter defineret af visse ligninger. Når du tegner dem, de ligner buede linjer. Vinter:"Selv på elliptiske kurver, som vi ved en del om, det er ikke let at bestemme mængden af ​​rationelle punkter."

Del Pezzo overflader

Desværre, Winter indsamlede ikke millionen dollars under sin ph.d. forskning. Hun arbejdede ikke på rationelle punkter på elliptiske kurver, men på såkaldte 'del Pezzo overflader af grad 1." Vinter:"Fra et geometrisk synspunkt, disse er ikke de sværeste, mest komplicerede overflader, men de rummer stadig ubesvarede matematiske spørgsmål." Hun viste for en del af denne familie af overflader, at den indeholder et uendeligt antal rationelle punkter, som ikke klynger sig; de kan findes spredt rundt på overfladerne. Hvis rationelle punkter var synlige som røde prikker og du kunne gå hen over sådan en del-Pezzo overflade, du ville se røde rationelle punkter overalt, hvor du kigger.

Siden september, Winter har arbejdet som postdoc ved Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences i Leipzig. Her lærer hun, blandt andet, hvordan man anvender geometri og abstrakt matematik i andre videnskaber, som biologi og fysik.