Sådan beregnes binomial sandsynlighed

En binomialfordeling beskriver en variabel X, hvis 1) der er et fast nummer n-observationer af variablen; 2) Alle observationer er uafhængige af hinanden; 3) sandsynligheden for succes p er den samme for hver observation; og 4) hver observation repræsenterer en af ​​præcis to mulige resultater (dermed ordet "binomial" - tænk "binært"). Denne sidste kvalifikation skelner mellem binomialfordeling fra Poisson-distributioner, som varierer kontinuerligt i stedet for diskret.

En sådan fordeling kan skrives B (n, p).

Beregning af sandsynligheden for en given observation

Sig en værdi k ligger et sted langs grafen af ​​binomialfordelingen, som er symmetrisk omkring den gennemsnitlige np. For at beregne sandsynligheden for, at en observation vil have denne værdi, skal denne ligning løses:

P (X = k) = (n: k) p ^{k (1-p) nk)}

hvor (n: k) = (n!) ÷ (k!) (n - k)!

"!" betegner en faktorfunktion, fx 27! = 27 x 26 x 25 x ... x 3 x 2 x 1.

Eksempel

Sig en basketballspiller tager 24 frie kast og har en etableret succesrate på 75 procent (p = 0,75). Hvad er chancerne for at hun vil ramme præcis 20 af sine 24 skud?

Beregn først (n: k) som følger:

(n!) ÷ (k!) (N - k) ! = 24! ÷ (20!) (4!) = 10,626

p ^{k = (0,75) 20 = 0,00317}

(1-p) ^{Således er P (20) = (10.626) (0.00317) (0.00390) = 0.1314.}

Denne spiller har derfor en 13,1 procent chance for at lave præcis 20 ud af 24 frie kast, i tråd med hvad intuition kan foreslå om en spiller, der normalt ville ramme 18 ud af 24 frie kast (på grund af hendes etablerede succesrate på 75 procent).