Sådan finder du området med en skalent trekant

I modsætning til en ligesidet trekant med dens tre lige sider og vinkler, en ensartet en med dens to lige sider, eller en højre trekant med sin 90-graders vinkel, har en skalen trekant tre sider af tilfældige længder og tre tilfældige vinkler. Hvis du vil vide dets område, skal du foretage et par målinger. Hvis du kan måle længden på den ene side og den vinkelrette afstand fra denne side til den modsatte vinkel, har du nok information til at beregne arealet. Det er også muligt at beregne areal, hvis du kender længderne på alle tre sider. Bestemmelse af værdien af en af vinklerne samt længderne på de to sider, der danner den, giver dig også mulighed for at beregne areal.

TL; DR (for lang; læste ikke)

Arealet af en scalene trekant med basis b og højde h er angivet med 1/2 bh. Hvis du kender længderne på alle tre sider, kan du beregne areal ved hjælp af Herons formel uden at skulle finde højden. Hvis du kender værdien af en vinkel og længderne på de to sider, der danner den, kan du finde længden på den tredje side ved hjælp af Cos of Law og derefter bruge Herons formel til at beregne areal.
General Formula for Finding Area

Overvej en tilfældig trekant. Det er muligt at skrive et rektangel rundt om det, der bruger en af siderne som sin base (det betyder ikke noget for hvilken) og bare rører toppen af den tredje vinkel. Længden af dette rektangel svarer til længden på siden af trekanten, der danner den, som kaldes basen (b). Dets bredde er lig med den vinkelrette afstand fra basen til spidsen, der kaldes højden (h) af trekanten.

Området på det rektangel, du lige tegnet, er lig med b ⋅ h. Hvis du imidlertid undersøger trekantens linjer, vil du se, at de deler parret med rektangler oprettet af den vinkelrette linje fra basen til spidsen nøjagtigt i halvdelen. Således er området inde i trekanten nøjagtigt halvdelen af det uden for det, eller 1/2 bh. For enhver trekant:

Areal \u003d 1/2 base ⋅ højde
Herons formel

Matematikere har vidst, hvordan man beregner arealet af en trekant med tre kendte sider i årtusinder. De bruger Herons Formel, opkaldt efter Hero of Alexandria. For at bruge denne formel skal du først finde halvkanten (r) af trekanten, som du gør ved at tilføje alle tre sider og dele resultatet med to. For en trekant med siderne a, b og c er halve omkredsen s \u003d 1/2 (a + b + c). Når du først har kendt det, beregner du areal ved hjælp af denne formel:

Areal \u003d firkantet rod [s (s - a) (s - b) (s - c)]
Brug af Cos of Law

Overvej en trekant med tre vinkler A, B og C. Længderne på de tre sider er a, b og c. Side a er modsat vinkel A, side b er modsat vinkel B, og side c er modsat vinkel C. Hvis du kender en af vinklerne - for eksempel vinkel C - og de to sider, der danner den - i dette tilfælde, a og b - du kan beregne længden på den tredje side ved hjælp af denne formel:

c ^{2 \u003d a 2 + b 2 - 2ab cos (C)}

Når du har kendt værdien af c, kan du beregne areal ved hjælp af Herons formel.