Hvornår er et tiltrækningsbassin som en blæksprutte?

Matematikere, der studerer dynamiske systemer, fokuserer ofte på reglerne for tiltrækning. Nemlig hvordan påvirker valget af udgangspunktet, hvor et system ender? Nogle systemer er nemmere at beskrive end andre. Et svingende pendul vil for eksempel altid lande på det laveste punkt, uanset hvor det starter.

I dynamisk systemforskning er et "tiltrækningsbassin" sættet af alle de udgangspunkter - sædvanligvis tæt på hinanden - der når frem til den samme endelige tilstand, som systemet udvikler sig gennem tiden. For ligetil systemer som et svingende pendul er formen og størrelsen af ​​et bassin forståelig. Ikke tilfældet for mere komplicerede systemer:dem med dimensioner, der når op i tiere eller hundreder eller højere, kan have vilde geometrier med fraktale grænser.

Faktisk kan de ligne fangarme af en blæksprutte, ifølge nyt arbejde af Yuanzhao Zhang, fysiker og SFI Schmidt Science Fellow, og Steven Strogatz, en matematiker og forfatter ved Cornell University. De snørklede geometrier af disse højdimensionelle bassiner kan ikke let visualiseres, men i et nyt papir offentliggjort i Physical Review Letters , beskriver forskerne et simpelt argument, der viser, hvorfor bassiner i systemer med flere attraktorer skal ligne højdimensionelle blæksprutter. De fremsætter deres argument ved at analysere en simpel model - en ring af oscillatorer, der, på trods af kun at interagere lokalt, kan producere utallige kollektive tilstande såsom i-fase synkronisering. Et højt antal koblede oscillatorer vil have mange attraktorer og derfor mange bassiner.

"Når du har et højdimensionelt system, dominerer tentaklerne størrelsen på bassinet," siger Zhang.

Det er vigtigt, at det nye arbejde viser, at volumenet af et højdimensionelt bassin ikke kan tilnærmes korrekt af en hyperkube, så fristende som det er. Det skyldes, at hyperkuben ikke formår at omfatte det store flertal – mere end 99 % – af punkterne i bassinet, som er spændt ud på fangarme.

Papiret antyder også, at emnet højdimensionelle bassiner er fyldt med potentiale for ny udforskning. "Geometrien er meget langt fra noget, vi kender," siger Strogatz. "Dette handler ikke så meget om det, vi fandt, som at minde folk om, at så meget venter på at blive fundet. Dette er den tidlige alder af udforskning af bassiner."

Arbejdet kan også have konsekvenser i den virkelige verden. Zhang peger på elnettet som et eksempel på vigtige højdimensionelle systemer med flere tiltrækningsbassiner. At forstå, hvilke udgangspunkter der fører til hvilke resultater, kan hjælpe ingeniører med at finde ud af, hvordan man holder lysene tændt.

"Afhængigt af, hvordan du starter dit net, vil det enten udvikle sig til en normal driftstilstand eller en forstyrrende tilstand - som en blackout," siger Zhang.