Sådan slipper du for eksponenter i en algebraisk ligning

Få ting slår frygt ind i den begyndende algebra-studerende som at se eksponenter - udtryk som y
<sup>2, x
3 eller endda den forfærdelige y x
- dukker op i ligninger. For at løse ligningen skal du på en eller anden måde få disse eksponenter til at forsvinde. Men sandheden er, at denne proces ikke er så vanskelig, når du lærer en række enkle strategier, hvoraf de fleste er forankret i de grundlæggende aritmetiske operationer, du har brugt i årevis.
Forenkle og kombinere lignende vilkår</sup>

Nogle gange, hvis du er heldig, har du muligvis eksponentudtryk i en ligning, der annullerer hinanden. Overvej for eksempel følgende ligning:

y
+ 2_x_ ^{2 - 5 \u003d 2 ( x
2 + 2)}

Med et skarpt øje og lidt øvelse kan du måske se, at eksponentbetegnelserne faktisk annullerer hinanden, således:

1. Forenkle hvor det er muligt
   
   

   Når du forenkler på højre side af prøveligningen, vil du se, at du har identiske eksponentbetegnelser på begge sider af ligetegnet:
   

   y
   + 2_x_ ^{2 - 5 \u003d 2_x_ < sup> 2 + 4}
   

2. Kombiner /annullér lignende vilkår
   
   

   Trækk 2_x_ ^{2 fra begge sider af ligningen. Fordi du udførte den samme operation på begge sider af ligningen, har du ikke ændret dens værdi. Men du har effektivt fjernet eksponenten og efterladt dig med:}
   

   y
   - 5 \u003d 4
   

   Om ønsket kan du afslutte med at løse ligningen for y
   ved at tilføje 5 til begge sider af ligningen, hvilket giver dig:
   

   y
   \u003d 9
   

   Ofte vil problemer ikke være så enkle, men det er stadig en mulighed værd at kigge efter.
   
   Kig efter muligheder for faktor -

   Med tid, praksis og masser af matematik klasser, indsamler du formler til factoring af visse typer polynomer. Det er meget som at samle værktøjer, som du opbevarer i en værktøjskasse, indtil du har brug for dem. Tricket er at lære at identificere, hvilke polynomer der let kan indregnes. Her er nogle af de mest almindelige formler, du muligvis bruger, med eksempler på, hvordan du anvender dem:
   

   1. Forskellen på kvadrater
      
      

      Hvis din ligning indeholder to firkantede tal med et minustegn mellem dem - for eksempel x
      <sup>2 - 4 2 - du kan faktorere dem ved hjælp af formlen a
      2 - b
      2 \u003d (a + b) (a - b)
      . Hvis du anvender formlen på eksemplet, polymerer x
      2 - 4 2 faktorer til ( x
      + 4) ( x
      - 4).</sup>
      

      Tricket her er at lære at genkende kvadratiske numre, selvom de ikke er skrevet som eksponenter. For eksempel er eksemplet med x
      2 - 4 ^{2 mere sandsynligt, at det skrives som x
      2 - 16.}
      

   2. Summen af terninger
      
      

      Hvis din ligning indeholder to kuber, der er tilføjet sammen, kan du faktor dem ved hjælp af formlen a
      <sup>3 + b
      3 \u003d ( a + b
      ) ( a
      2 - ab
      + b
      2) . Overvej eksemplet med y
      3 + 2 3, som du mere sandsynligt vil se skrevet som y
      3 + 8. Når du erstatter < em> y
      og 2 i formlen for henholdsvis a
      og b
      , har du:</sup>
      

      ( y
      + 2) ( y
      ^{2 - 2y + 2 2)}
      

      Naturligvis er eksponenten ikke forsvundet helt, men nogle gange er denne formel form et nyttigt, mellemliggende trin i retning af at komme af med af det. For eksempel kan factoring således i tælleren af en brøk oprette termer, som du derefter kan annullere med udtryk fra nævneren.
      

   3. Forskellen på terninger
      
      

      Hvis din ligning indeholder to kuber tal med det ene trukket fra det andet, kan du faktor dem ved hjælp af en formel, der ligner den, der er vist i det forrige eksempel. Faktisk er placeringen af minus-tegnet den eneste forskel mellem dem, da formlen for forskellen på terninger er: a
      <sup>3 - b
      3 \u003d ( a - b
      ) ( a
      2 + ab
      + b
      2).</sup>
      

      Overvej eksemplet med x
      ^{3 - 5 3, som mere sandsynligt vil blive skrevet som x
      3 - 125. Udskiftning af x
      for a
      og 5 for b
      , får du:}
      

      ( x
      - 5) ( x
      < sup> 2 + 5_x_ + 5 ²⁾
      

      Som før, selvom dette ikke eliminerer eksponenten helt, kan det være et nyttigt mellemtrin undervejs.
      
      Isolere og Anvend en radikal
      

      Hvis ingen af ovenstående tricks fungerer, og du kun har et udtryk, der indeholder en eksponent, kan du bruge den mest almindelige metode til at "slippe af med" eksponenten: Isoler eksponentbetegnelsen på den ene side af ligningen, og anvend derefter den passende radikale på begge sider af ligningen. Overvej eksemplet med z
      ^{3 - 25 \u003d 2.}
      

      1. Isoler eksponentbegrebet
         
         

         Isoler eksponentbegrebet ved at tilføje 25 til begge sider af ligningen. Dette giver dig:
         

         z
         ^{3 \u003d 27}
         

      2. Anvend den passende radikale
         
         

         Indekset for den rod, du anvender - det vil sige det lille superskriptnummer før det radikale tegn - skal være det samme som eksponenten, du prøver at fjerne. Så fordi eksponentbetegnelsen i eksemplet er en terning eller en tredje magt, skal du anvende en terningrod eller tredje rod for at fjerne den. Dette giver dig:
         

         ^{3√ ( z
         3) \u003d 3√27}
         

         Hvilket igen forenkler til:
         

         z
         \u003d 3