Hvad er undergrupper med reelle tal?

Sættet med reelle tal består af alle numrene på en talelinje. Delmængder kan omfatte en hvilken som helst samling af numre, men elementerne i en vigtig delmængde skal mindst have flere egenskaber til fælles. De fleste af disse undergrupper er kun nyttige til specifikke beregninger, men der er nogle få, der har interessante egenskaber, og som hjælper med at forstå, hvordan det virkelige talesystem fungerer.

TL; DR (for lang; ikke læst)

De vigtigste undergrupper i sættet af reelle tal inkluderer de rationelle og de irrationelle tal. Sættet med rationelle tal kan opdeles i yderligere undergrupper, inklusive de naturlige tal, hele tal og heltal. Andre undergrupper af de reelle tal er lige og ulige tal, primtalene og de perfekte tal. I alt er der et uendeligt antal delmængder med de reelle tal.
Reelle antal undergrupper i Generelt

For ethvert sæt, der indeholder en mængde n elementer, er antallet af undergrupper 2 ^{n. Sættet med reelle tal har et uendeligt antal elementer, og derfor er den tilsvarende eksponentiel af 2 også uendelig, hvilket giver et uendeligt antal delmængder.}

Mange af disse undersæt kan bruges, når man arbejder med det reelle talesystem og under beregninger, men de er kun nyttige til specifikke formål. F.eks. Til beregning af prisen på flere pizzaer for venner, er det kun delmængden af numre fra ti til hundrede, der kan være af interesse. Et udendørs termometer viser måske kun undermængden af temperaturer fra minus 40 til plus 120 grader Fahrenheit. Det er nyttigt at arbejde med delmængder som disse, fordi ethvert resultat uden for det forventede undergruppe sandsynligvis er forkert.

De mere generelle undergrupper af reelle tal klassificerer numre efter deres egenskaber, og disse undergrupper har unikke egenskaber som resultat. Det reelle talsystem udviklede sig fra undergrupper såsom de naturlige tal, der bruges til at tælle, og sådanne undergrupper danner grundlaget for en forståelse af algebra.
Delmængder, der udgør de reelle tal -

Sættet med reelle tal består af de rationelle og de irrationelle tal. Rationelle tal er heltal og tal, der kan udtrykkes som en brøk. Alle andre reelle tal er irrationelle, og de inkluderer tal såsom kvadratroten af 2 og antallet pi. Da irrationelle tal er defineret som en undergruppe af reelle tal, skal alle irrationelle numre være reelle tal.

Rationelle tal kan opdeles i yderligere undergrupper. De naturlige tal er tal, der historisk blev brugt til at tælle, og det er sekvensen 1, 2, 3 osv. Hele tal er de naturlige tal plus nul. Heltal er hele tallene plus de negative naturlige tal.

Andre undergrupper af de rationelle tal inkluderer koncepter som lige, ulige, primære og perfekte tal. Selv antal er heltal, der har 2 som en faktor; ulige tal er alle de andre heltal. Primtal er heltal, der kun har sig selv og 1 som faktorer. Perfekte tal er heltal, hvis faktorer tilføjer antallet. Det mindste perfekte tal er 6 og dets faktorer, 1, 2 og 3 er op til 6.

Generelt giver beregninger, der er foretaget med reelle tal, reelle talbesvarelser, men der er en undtagelse. Der er ikke noget reelt tal, der, når det ganges med sig selv, giver et negativt reelt tal som svar. Som et resultat kan kvadratroten af et negativt reelt tal ikke være et reelt tal. De firkantede rødder af negative reelle tal kaldes imaginære tal, og de er elementerne i et sæt numre, der er helt adskilt fra de reelle tal.

Undersøgelsen af delmængderne af reelle tal er en del af taleteorien, og det klassificerer tal for at gøre det lettere at forstå, hvordan talteori fungerer. At blive fortrolig med reelle talundersæt og deres egenskaber er et godt grundlag for yderligere matematiske studier.