Sådan bruges den kvadratiske formel

En kvadratisk ligning er en, der indeholder en enkelt variabel, og hvor variablen er kvadratisk. Standardformen for denne type ligning, der altid producerer en parabola, når den er tegnet, er øks
<sup>2 + bx
+ c
\u003d 0, hvor < em> a
, b
og c
er konstanter. At finde løsninger er ikke så ligetil som for en lineær ligning, og en del af grunden er, at der på grund af det kvadratiske udtryk altid er to løsninger. Du kan bruge en af tre metoder til at løse en kvadratisk ligning. Du kan faktorere udtrykkene, der fungerer bedst med enklere ligninger, eller du kan fuldføre firkanten. Den tredje metode er at bruge den kvadratiske formel, som er en generaliseret løsning på hver kvadratisk ligning.
Den kvadratiske formel</sup>

For en generel kvadratisk ligning af formen øks
<sup>2 + bx
+ c
\u003d 0, løsningen er givet ved denne formel:</sup>

x
\u003d [- b
± √ ( b
^{2 - 4_ac_)] ÷ 2_a_}

Bemærk, at ± -tegnet inde i parenteserne betyder, at der altid er to løsninger. En af løsningen bruger [- b
+ √ ( b
<sup>2 - 4_ac_)] ÷ 2_a_, og den anden løsning bruger [- b
- √ ( b
2 - 4_ac_)] ÷ 2_a_.
Brug af kvadratisk formel</sup>

Inden du kan bruge den kvadratiske formel, skal du sørge for ligningen er i standardform. Det kan det ikke være. Nogle x
^{2 udtryk kan være på begge sider af ligningen, så du bliver nødt til at samle dem på højre side. Gør det samme med alle x udtryk og konstanter.}

Eksempel: Find løsningen på ligningen 3_x_ ^{2 - 12 \u003d 2_x_ ( x
-1).}

1. Konverter til standardformular
   
   

   Udvid parenteserne:
   

   3_x_ ^{2 - 12 \u003d 2_x_ 2 - 2_x_}
   

   Træk 2_x_ ^{2 og fra begge sider. Føj 2_x_ til begge sider.}

   3_x_ ^{2 - 2_x_ 2 + 2_x_ - 12 \u003d 2_x_ 2 -2_x_ 2 -2_x_ + 2_x_}
   

   3_x_ < sup> 2 - 2_x_ ^{2 + 2_x_ - 12 \u003d 0}
   

   x
   ^{2 - 2_x_ -12 \u003d 0}
   

   Denne ligning er i standardform aks
   <sup>2 + bx
   + c
   \u003d 0 hvor a
   \u003d 1, b
   \u003d −2 og c
   \u003d 12</sup>
   

2. Sæt værdierne for a, b og c i den kvadratiske formel.
   
   

   Den kvadratiske formel er
   

   x
   \u003d [- b
   ± √ ( b
   ^{2 - 4_ac_)] ÷ 2_a_}
   

   Siden a
   \u003d 1, b
   \u003d −2 og c
   \u003d −12, dette bliver
   

   x
   \u003d [- (−2) ± √ {( −2) ^{2 - 4 (1 × −12)}] ÷ 2 (1)}
   

3. Forenkle
   
   

   x
   \u003d [2 ± √ {4 + 48}] ÷ 2.
   

   x
   \u003d [2 ± √52] ÷ 2
   

   x
   \u003d [2 ± 7.21] ÷ 2
   

   x
   \u003d 9.21 ÷ 2 og x
   \u003d −5.21 ÷ 2
   

   x
   \u003d 4.605 og x
   \u003d −2.605
   
   To andre måder at løse kvadratiske ligninger på
   

   Du kan løse kvadratiske ligninger ved factoring. For at gøre dette gætter du mere eller mindre på et par tal, at når de tilføjes sammen, giver du konstanten b
   , og når den multipliceres sammen, giver den konstanten c
   . Denne metode kan være vanskelig, når der er involveret fraktioner. og ville ikke fungere godt til ovenstående eksempel.
   

   Den anden metode er at afslutte firkanten. Hvis du har en ligning er standardform, ax
   <sup>2 + bx
   + c
   \u003d 0, sæt c
   til højre side og tilføj udtrykket ( b
   /2) 2 til begge sider. Dette giver dig mulighed for at udtrykke venstre side som ( x
   + d
   ) 2, hvor d
   er en konstant. Du kan derefter tage firkantroden fra begge sider og løse for x
   . Igen er ligningen i ovenstående eksempel lettere at løse ved hjælp af den kvadratiske formel.</sup>