Hvad er reelle tal?

De reelle tal er alle numrene på en talelinje, der strækker sig fra negativ uendelighed gennem nul til positiv uendelig. Denne konstruktion af sættet med reelle tal er ikke vilkårlig, men snarere resultatet af en udvikling fra de naturlige tal, der bruges til at tælle. Systemet med naturlige tal har adskillige inkonsekvenser, og efterhånden som beregninger blev mere komplekse, udvidede talesystemet til at tackle dets begrænsninger. Med reelle tal giver beregninger ensartede resultater, og der er få undtagelser eller begrænsninger, som var til stede med de mere primitive versioner af nummersystemet.

TL; DR (for lang; ikke læst)

Sættet med reelle tal består af alle numrene på en talelinje. Dette inkluderer naturlige tal, hele tal, heltal, rationelle tal og irrationelle tal. Det inkluderer ikke imaginære tal eller komplekse tal.
Naturlige numre og lukning

Lukning er egenskaben for et sæt numre, der betyder, at hvis tilladte beregninger udføres på tal, der er medlemmer af sættet, er svarene vil også være numre, der er medlemmer af sættet. Sættet siges at være lukket.

Naturlige numre er taltallet, 1, 2, 3 ..., og sættet med naturlige tal er ikke lukket. Da der blev anvendt naturlige tal i handel, opstod der straks to problemer. Mens de naturlige tal tæller rigtige genstande, for eksempel køer, hvis en landmand havde fem køer og solgte fem køer, var der intet naturligt antal for resultatet. Systemer med tidligt antal udviklede meget hurtigt et udtryk for nul til at løse dette problem. Resultatet var systemet med hele tal, som er de naturlige tal plus nul.

Det andet problem var også forbundet med subtraktion. Så længe antallet tæller rigtige genstande som køer, kunne landmanden ikke sælge flere køer, end han havde. Men når numrene blev abstrakte, gav trækket fra større tal fra de mindre svar uden for systemet med hele tal. Som et resultat blev heltal, der er hele tallene plus negative naturlige tal, introduceret. Talesystemet omfattede nu en komplet tallinje, men kun med heltal.
Rational Numbers

Beregninger i et lukket talesystem skal give svar inden for nummersystemet for operationer som tilføjelse og multiplikation, men også for deres inverse operationer, subtraktion og opdeling. Systemet med heltal er lukket for tilføjelse, subtraktion og multiplikation, men ikke for opdeling. Hvis et heltal er delt med et andet heltal, er resultatet ikke altid et heltal.

Deling af et lille heltal med et større et giver en brøkdel. Sådanne fraktioner blev føjet til talesystemet som rationelle tal. Rationelle tal defineres som ethvert tal, der kan udtrykkes som et forhold mellem to heltal. Ethvert vilkårligt decimaltal kan udtrykkes som et rationelt tal. For eksempel er 2.864 2864/1000 og 0.89632 er 89632 /100.000. Nu ser det ud til, at talelinjen var komplet.
Irrationelle tal

Der er tal på talelinjen, der ikke kan udtrykkes som en brøkdel af heltal. Den ene er forholdet mellem siderne af en retvinklet trekant og hypotenusen. Hvis to af siderne af en retvinklet trekant er 1 og 1, er hypotenusen kvadratroten af 2. Kvadratroten af to er en uendelig decimal, som ikke gentages. Sådanne tal kaldes irrationelle, og de inkluderer alle reelle tal, der ikke er rationelle. Med denne definition er talelinjen for alle reelle tal komplet, fordi ethvert andet reelt tal, der ikke er rationelt, er inkluderet i definitionen af irrationel.
Infinity

Selvom det siges, at den rigtige tallinje strækker sig fra uendelig til positiv uendelig, uendeligt i sig selv er ikke et reelt tal, men snarere et begreb af talesystemet, der definerer det som værende en mængde, der er større end noget tal. Matematisk uendelig er svaret på 1 /x, når x når nul, men deling med nul er ikke defineret. Hvis uendelighed var et tal, ville det føre til modsigelser, fordi uendeligheden ikke følger aritmetikkens love. For eksempel er uendelighed plus 1 stadig uendelig.
Fantasiske numre

Sættet med reelle tal er lukket for tilføjelse, subtraktion, multiplikation og opdeling bortset fra deling med nul, som ikke er defineret. Sættet er ikke lukket for mindst én anden operation.

Reglerne for multiplikation i sættet af reelle tal specificerer, at multiplikationen af et negativt og et positivt tal giver et negativt tal, mens multiplikationen af positivt eller negativt tal giver positive svar. Dette betyder, at det specielle tilfælde af at multiplicere et tal med sig selv giver et positivt tal for både positive og negative tal. Det inverse i dette specielle tilfælde er kvadratroten af et positivt tal, der giver både et positivt og negativt svar. For kvadratroten af et negativt tal er der intet svar i sættet med reelle tal.

Konceptet med sættet af imaginære tal adresserer spørgsmålet om negative kvadratroder i de reelle tal. Kvadratroten på minus 1 er defineret som i, og alle imaginære tal er multipla af i. For at gennemføre talteori defineres sættet med komplekse tal som inkluderende alle reelle og alle imaginære tal. Reelle tal kan fortsat visualiseres på en vandret talelinje, mens imaginære tal er en lodret talelinje, hvor de to skærer hinanden ved nul. Komplekse tal er punkter i planet for de to talelinjer, hver med en reel og en imaginær komponent.