Hvad er enhedskredsen i trigonometri?

Trigonometri kan føles som et ganske abstrakt emne. Arcane udtryk som "synd" og "cos" ser ikke ud til at svare til noget i virkeligheden, og det er svært at få fat på dem som koncepter. Enhedskredsen hjælper væsentligt med dette og tilbyder en ligetil forklaring af, hvad de tal, du får, er, når du tager sinus, kosinus eller tangens i en vinkel. For enhver studerende inden for videnskab eller matematik kan forståelse af enhedskredsen virkelig cementere din forståelse af trigonometri og hvordan du bruger funktionerne.

TL; DR (for lang; ikke læst)

En enhedscirkel har en radius på en. Forestil dig et xy-koordinatsystem, der starter i midten af denne cirkel. Punktvinklerne måles fra, hvor x
\u003d 1 og y
\u003d 0, på højre side af cirklen. Vinkler øges, når du bevæger dig mod uret.

Brug af denne ramme, og y
for y
-koordinaten og x
til x
-koordinat af punktet på cirklen:

sin θ
\u003d y

cos θ
\u003d x

Og følgelig:

tan θ
\u003d y
/ x

Hvad er enhedens cirkel?

En "enhed" -cirkel har en radius på 1. Med andre ord er afstanden fra centrum af cirklen til en hvilken som helst del af kanten altid 1. Måleenheden gør ikke Det betyder ikke noget, for det vigtigste ved enhedskredsen er, at det gør mange ligninger og beregninger meget enklere.

Det fungerer også som et nyttigt grundlag for at se på definitionerne af vinkler. Forestil dig, at cirklens centrum sidder i midten af et koordinatsystem med en x
-akse, der kører vandret og en y og -akse, der kører lodret. Cirklen krydser x
-aks ved x
\u003d 1, y
\u003d 0. Forskere og matematikere definerer vinklen fra det punkt, der bevæger sig i retning mod uret . Så punktet x
\u003d 1, y
\u003d 0 på cirklen er i en vinkel på 0 °. Definitionerne af synd og kos med enhedskredsen

De almindelige definitioner af synd, kos og solbrun, der gives til studerende, vedrører trekanter. De angiver:

synd θ
\u003d modsat /hypotenuse

cos θ
\u003d tilstødende /hypotenuse

tan θ
\u003d sin θ
/cos θ

Det "modsatte" refererer til længden på siden af trekanten modsat vinklen, "tilstødende" henviser til længden på siden ved siden af vinklen og "hypotenuse" henviser til længden af trekantens diagonale side.

Forestil dig at oprette en trekant, så hypotenusen altid var radius for enhedens cirkel, med en hjørne i kanten af cirklen og et i midten. Dette betyder, at hypotenuse \u003d 1 i ligningerne ovenfor, så de to første bliver:

sin θ
\u003d modsat /1 \u003d modsat

cos θ
\u003d tilstødende /1 \u003d tilstødende

Hvis du gør den pågældende vinkel til den i midten af cirklen, er det modsatte bare y
-koordinatet, og den tilstødende er bare < em> x
- koordinat af det punkt på cirklen, der berører trekanten. Med andre ord returnerer sin y
-koordinat på enhedskredsen (ved hjælp af koordinater, der starter i midten) for en given vinkel, og cos returnerer x
-koordinatet. Dette er grunden til at cos (0) \u003d 1 og sin (0) \u003d 0, fordi det på dette tidspunkt er koordinaterne. Ligeledes cos (90) \u003d 0 og sin (90) \u003d 1, fordi dette er punktet med x
\u003d 0 og y
\u003d 1. I ligningsform:

sin θ
\u003d y

cos θ
\u003d x

Negative vinkler er også let at forstå på basis af dette. De negative vinkler (målt med uret fra udgangspunktet) har den samme x
koordinat som den tilsvarende positive vinkel, så:

cos - θ

\u003d cos θ

y
-koordinatet skifter imidlertid, hvilket betyder at

sin - θ

\u003d −sin θ

Definitionen af solbrun med enhedens cirkel

Definitionen på solbrun, der er givet ovenfor, er:

tan θ
\u003d sin θ
/cos θ

Men med enhedscirkelens definitioner af synd og cos, kan du se, at dette svarer til:

tan θ
\u003d modsat /tilstødende

Eller tænker i form af koordinater:

tan θ
\u003d y
/ x

Dette forklarer, hvorfor solbrun er udefineret i 90 ° eller −270 ° og 270 ° eller −90 ° (hvor x
\u003d 0), fordi du kan divideres ikke med nul.
Grafik Trigonometriske funktioner

Grafning af synd eller cos bliver lettere, når du tænker på enhedskredsen. x
-koordinatet varierer jævnt, når du bevæger dig rundt i cirklen, starter ved 1 og falder til et minimum på −1 ved 180 ° og derefter øges på samme måde. Syndsfunktionen gør den samme ting, men den øges til en maksimal værdi på 1 ved 90 ° først, før den følger det samme mønster. Det siges, at de to funktioner er 90 ° ude af "fase" med hinanden.

Grafisk tan kræver at dele y
med x
, og det er derfor mere kompliceret at graf, og har også punkter, hvor det er udefineret.