Tip til løsning af ligninger med variabler på begge sider

Når du først begynder at løse algebraiske ligninger, får du relativt lette eksempler som x
\u003d 5 + 4 eller y
\u003d 5 (2 + 1). Men når tiden kryber, vil du blive udsat for sværere problemer, der har variabler på begge sider af ligningen; for eksempel 3_x_ \u003d x
+ 4 eller endda den skræmmende y
^{2 \u003d 9 - 3_y_ 2 .
Når dette sker, ikke panik: Du vil bruge en række enkle tricks til at hjælpe med at give mening om disse variabler.}

1. Gruppér variablerne på den ene side
   
   

   Din første trin er at gruppere variablerne på den ene side af det lige tegn - normalt til venstre. Overvej eksemplet med 3_x_ \u003d x
   + 4. Hvis du tilføjer den samme ting til begge sider af ligningen, ændrer du ikke dens værdi, så du vil tilføje det additive inverse af x
   , som er - x
   , til begge sider (dette er det samme som at trække x
   fra begge sider). Dette giver dig:
   

   3_x_ - x
   \u003d x
   + 4 - x
   
   

   Som igen forenkler til:
   

   2_x_ \u003d 4
   
   
   

   Tips
   

2. Når du tilføjer et tal til dets additive inverse, er resultatet nul - så du nullægger effektivt ud variablen til højre.
   
   
   

3. Fjern ikke-variabler væk fra den side
   
   

   Nu hvor dine variabel udtryk alle er på den ene side af udtrykket, det er tid til at løse variablen ved at fjerne enhver ikke-variabel udtryk på den side af ligningen. I dette tilfælde skal du fjerne koefficienten 2 ved at udføre den inverse operation (dividere med 2). Som før skal du udføre den samme handling på begge sider. Dette efterlader dig med:
   

   2_x_ ÷ 2 \u003d 4 ÷ 2
   

   Som igen forenkler til:
   

   x
   \u003d 2
   
   Et andet eksempel
   

   Her er et andet eksempel med den ekstra rynke fra en eksponent; overveje ligningen y
   ^{2 \u003d 9 - 3_y_ 2. Du anvender den samme proces, som du brugte uden eksponenterne:}
   

   1. Gruppér variablerne på den ene side.
      

      Lad ikke eksponenten skræmme dig. Ligesom med en "normal" variabel i den første rækkefølge (uden en eksponent), bruger du additivet invers til "zero out" -3_y_ ^{2 fra højre side af ligningen. Tilføj 3_y_ 2 til begge sider af ligningen. Dette giver dig:}
      

      y
      ^{2 + 3_y_ 2 \u003d 9 - 3_y_ 2 + 3_y_ 2}
      

      Når den er forenklet, dette resulterer i:
      

      4_y_ ^{2 \u003d 9}
      

   2. Strip væk ikke-variabler fra den side
      
      

      Nu er det tid til at løse for y
      . For det første, for at fjerne enhver ikke-variabel fra den side af ligningen, skal du dele begge sider med 4. Dette giver dig:
      

      (4_y_ ^{2) ÷ 4 \u003d 9 ÷ 4}
      

      Hvilket igen forenkler til:
      

      y
      ^{2 \u003d 9 ÷ 4 eller y
      2 \u003d 9/4}
      

   3. Løs til variablen
      
      

      Nu har du kun variable udtryk på venstre side af ligningen, men du løser for variablen y
      , ikke y
      ^{2. Så har du endnu et trin tilbage.}
      

      Annuller eksponenten på venstre side ved at anvende en gruppe af samme indeks. I dette tilfælde betyder det at tage kvadratroden fra begge sider:
      

      √ ( y
      ^{2) \u003d √ (9/4)}
      

      Som derefter forenkler til:
      

      y
      \u003d 3/2
      
      Et specialtilfælde: Factoring
      

      Hvad nu hvis din ligning har en blanding af variabler i forskellige grader (f.eks. , nogle med eksponenter og nogle uden, eller med forskellige grader af eksponenter)? Så er det tid til at faktorere, men først starter du på samme måde, som du gjorde med de andre eksempler. Overvej eksemplet med x
      ^{2 \u003d -2 - 3_x._}
      

      1. Gruppér variablerne på den ene side
         
         

         Som før gruppe alle de variable termer på den ene side af ligningen. Ved hjælp af den additive inverse egenskab kan du se, at tilføjelse af 3_x_ til begge sider af ligningen "nul ud" x
         udtrykket på højre side.
         

         x
         ^{2 + 3_x_ \u003d -2 - 3_x_ + 3_x_}
         

         Dette forenkler til:
         

         x
         ^{2 + 3_x_ \u003d -2}
         

         Som du kan se, har du faktisk flyttet x
         til venstre side af ligningen.
         

      2. Opsætning til Factoring
         
         

         Her hvor factoring kommer ind. Det er tid til at løse for x
         , men du kan ikke kombinere x
         ^{2 og 3_x_. Så i stedet kan en vis undersøgelse og en smule logik hjælpe dig med at erkende, at tilføjelse af 2 til begge sider nullægger højre side af ligningen og indstiller en letfaktorform til venstre. Dette giver dig:}
         

         x
         ^{2 + 3_x_ + 2 \u003d -2 + 2}
         

         Forenkling af udtrykket til højre resulterer i:
         

         x
         ^{2 + 3_x_ + 2 \u003d 0}
         

      3. Faktor polynomet
         
         

         Nu hvor du har konfigureret dig selv for at gøre det let, du kan faktorere polynomet til venstre i dets komponenter:
         

         ( x
         + 1) ( x
         + 2) \u003d 0
         

      4. Find Nuloer
         
         

         Fordi du har to variable udtryk som faktorer, har du to mulige svar for ligningen. Indstil hver faktor, ( x
         + 1) og ( x
         + 2), lig med nul og løst for variablen.
         

         Indstilling ( x
         + 1) \u003d 0 og løsning for x
         får dig x
         \u003d -1.
         

         Indstilling ( x
         + 2) \u003d 0 og løsning for x
         får dig x
         \u003d -2.
         

         Du kan teste begge løsninger ved at erstatte dem i den oprindelige ligning:
         

         (- 1) ^{2 + 3 (-1) \u003d -2 forenkler til 1 - 3 \u003d -2 eller -2 \u003d -2, hvilket er sandt, så dette x
         \u003d -1 er en gyldig løsning.}
         

         (-2) ^{2 + 3 (-2) \u003d -2 forenkles til 4 - 6 \u003d -2 eller, igen, -2 \u003d -2. Igen har du en sand erklæring, så x
         \u003d -2 er også en gyldig løsning.}