Hvad er dobbeltvinkelidentiteter?

Når du begynder at udføre trigonometri og beregning, kan du løbe ind i udtryk som synd (2θ), hvor du bliver bedt om at finde værdien af θ. At spille prøve og fejl med diagrammer eller en lommeregner for at finde svaret ville spænde fra et udtrukket mareridt til helt umuligt. Heldigvis er dobbeltvinklen identiteterne her for at hjælpe. Dette er specielle tilfælde af, hvad der er kendt som en sammensat formel, der nedbryder funktionerne i formerne (A + B) eller (A - B) til funktioner af bare A og B.
The Double-Angle Identities for Sine

Der er tre dobbeltvinklede identiteter, hver for sinus-, kosinus- og tangentfunktionerne. Men sinus- og kosinusidentiteterne kan skrives på flere måder. Her er de to måder at skrive dobbeltvinkelidentiteten for sinusfunktionen på:

sin (2θ) \u003d 2sinθcosθ

sin (2θ) \u003d (2tanθ) /(1 + tan ^{2θ)

Den dobbelte vinkelidentitet for kosinus
Der er endnu flere måder at skrive dobbeltvinklen identitet for cosinus:}

cos (2θ) \u003d cos ^{2θ - sin ^2θ}

cos (2θ) \u003d 2cos ^{2θ - 1}

cos (2θ) \u003d 1 - 2sin ^2θ

cos (2θ) \u003d (1 - tan ^{2θ) /(1 + tan ^{2θ)

Den dobbelte vinkelidentitet for tangent
Her er der bare en måde at skrive dobbeltvinkelidentiteten til tangentfunktionen:}}

tan (2θ) \u003d (2tanθ) /(1 - tan ^{2θ)

Brug af dobbeltvinkelidentiteter
Forestil dig, at du står over for en ret trekant, hvor du kender længden af dets sider, men ikke målet for dets vinkler. Du er blevet bedt om at finde θ, hvor θ er en af trekantens vinkler. Hvis hypotenusen for trekanten måler 10 enheder, den side, der støder op til din vinkel, måler 6 enheder, og siden modsat vinklen måler 8 enheder, betyder det ikke noget, at du ikke kender målet for θ; kan du bruge din viden om sinus og kosinus plus en af dobbeltvinkelformlerne til at finde svaret.

Find synder og kosinus

Når du først har Hvis du vælger en vinkel, kan du definere sinus som forholdet mellem den modsatte side over hypotenusen og cosinus som forholdet mellem den tilstødende side over hypotenusen. Så i det netop givne eksempel har du:

sinθ \u003d 8/10

cosθ \u003d 6/10

Du finder disse to udtryk, fordi de er de vigtigste byggesten til dobbeltvinkelformlerne.

Vælg en dobbeltvinkelformel

Fordi der er så mange dobbeltvinkelformler at vælge imellem, kan du vælge den der ser ud lettere at beregne og returnerer den type information, du har brug for. I dette tilfælde, fordi du allerede kender sinθ og cosθ, ser synd (2θ) \u003d 2sinθcosθ praktisk ud.

Erstat i kendte værdier

Du kender allerede værdierne for sinθ og cosθ, så erstatt dem i ligningen:

sin (2θ) \u003d 2 (8/10) (6/10)

Når du har forenklet, har du:

sin (2θ) \u003d 96/100

Konverter til decimalform

De fleste trigonometriske diagrammer er angivet i decimaler, så næste arbejder divisionen repræsenteret af brøkdelen for at konvertere den til decimalform . Nu har du:

synd (2θ) \u003d 0,96

Find den inverse sine

Endelig skal du finde den inverse sinus eller bueskine på 0,96, som er skrevet som synde ^{-1 (0,96). Eller med andre ord, brug din regnemaskine eller et diagram til at tilnærme den vinkel, der har en sinus på 0,96. Som det viser sig, er det næsten nøjagtigt lig 73,7 grader. Så 2θ \u003d 73,7 grader.}
Løs til θ

Del hver side af ligningen med 2. Dette giver dig:

θ \u003d 36,85 grader}

Sidste artikelSådan finder du domænet for en firkantet rodfunktion

Næste artikelTip til løsning af ligninger med variabler på begge sider