Sådan løses ligninger med absolut værdi

Ligninger med absolut værdi kan være lidt skræmmende til at begynde med, men hvis du holder på det, løser du dem hurtigt let. Når du prøver at løse ligninger med absolut værdi, hjælper det med at holde betydningen af absolut værdi i tankerne.
Definition af absolut værdi

Den absolutte værdi af et tal x
, skrevet |

  x
|

, er dens afstand fra nul på en talelinje. For eksempel er −3 3 enheder væk fra nul, så den absolutte værdi af −3 er 3. Vi skriver det sådan: |

 −3 |

 \u003d 3.

En anden måde at tænke over det er, at absolut værdi er den positive "version" af et tal. Så den absolutte værdi af −3 er 3, mens den absolutte værdi på 9, som allerede er positiv, er 9.

Algebraisk kan vi skrive en formel for absolut værdi, der ser sådan ud:

|

  x
|

 \u003d x
, hvis x
≥ 0,

\u003d - x
, hvis x
≤ 0.

Tag et eksempel, hvor x
\u003d 3. Da 3 ≥ 0, er den absolutte værdi af 3 3 (i notering af absolut værdi, det er: |

 3 |

 \u003d 3).

Hvad nu, hvis x
\u003d −3? −3 |

 ", 3, [[Det modsatte eller "negative" af −3 er 3, så |

 −3 |

 \u003d 3.
Løsning af absolutte værdiligninger

Nu for nogle absolutte værdiligninger. De generelle trin til løsning af en ligning med absolut værdi er:

Isoler udtrykket af absolut værdi.

Løs den positive "version" af ligningen.

Løs den negative "version "af ligningen ved at multiplicere mængden på den anden side af ligestegnet med −1.

Se på nedenstående problem for et konkret eksempel på trinnene.

Eksempel: Løs ligningen for x
: |

 3 + x
|

 - 5 \u003d 4.

1. Isoler ekspressionen af den absolutte værdi
   
   

   Du skal få |

    3 + x
   |

    af sig selv på venstre side af det lige tegn. For at gøre dette skal du tilføje 5 til begge sider:
   

   |

    3 + x
   |

    - 5 (+ 5) \u003d 4 (+ 5)
   

   |

    3 + x
   |

    \u003d 9.
   

2. Løs den positive "version" af ligningen
   
   

   Løs for x
   som om det absolutte værdistegn ikke var der!
   

   |

    3 + x
   |

    \u003d 9 → 3 + x
   \u003d 9
   

   Det er let: Træk bare 3 fra begge sider.
   

   3 + x
   (−3) \u003d 9 (−3)
   

   x
   \u003d 6
   

   Så en løsning på ligningen er at x
   \u003d 6.
   

3. Løs den negative "version" af ligningen
   
   

   Start igen ved |

    3 + x
   |

    \u003d 9. Algebra i det forrige trin viste, at x
   kunne være 6. Men da dette er en absolut værdi-ligning, er der en anden mulighed at overveje. I ligningen ovenfor er den absolutte værdi af "noget" (3 + x
   ) lig med 9. Ja, den absolutte værdi af positive 9 er lig med 9, men der er også en anden mulighed her! Den absolutte værdi af −9 er også lig med 9. Så det ukendte "noget" kunne også være lig med −9.
   

   Med andre ord: 3 + x
   \u003d −9.
   

   Den hurtige måde at nå frem til denne anden version er at multiplicere mængden på den anden side af det ligestil fra den absolutte værdiudtryk (9, i dette tilfælde) med −1, og derefter løse ligningen derfra.
   

   Så: |

    3 + x
   |

    \u003d 9 → 3 + x
   \u003d 9 × (−1)
   

   3 + x
   \u003d −9
   

   Trækk 3 fra begge sider for at få :
   

   3 + x
   (−3) \u003d −9 (−3)
   

   x
   \u003d −12
   

   Så de to løsninger er: x
   \u003d 6 eller x
   \u003d −12.
   

   Og der har du det! Disse slags ligninger træner, så du skal ikke bekymre dig, hvis du kæmper med det første. Hold på det, og det bliver lettere!