Sådan finder man rodene fra et polynom

Der er en fangst: Rødder af et polynom kan være ægte eller imaginære. "Rigtige" rødder er medlemmer af det sæt, der kaldes reelle tal, som på dette tidspunkt i din matematikkarriere er hvert nummer, du er vant til at tackle. At mestre imaginære tal er et helt andet emne, så lige nu skal du huske tre ting:

Den mest alsidige måde at finde rødder på er at fakturere dit polynom så meget som muligt og derefter indstille hvert udtryk lig med nul. Dette giver meget mere mening, når du har fulgt et par eksempler. Overvej det enkle polynom x
^{2 - 4_x: _}

1. Faktor om polynomet
   
   

   En kort undersøgelse viser, at du kan faktor x
   ud fra begge udtryk for polynomet, som giver dig:
   

   x
   ( x
   - 4)
   

2. Find nuloer
   
   

   Indstil hver sigt til nul. Det betyder at løse for to ligninger:
   

   x
   \u003d 0 er det første udtryk indstillet til nul, og
   

   x
   - 4 \u003d 0 er det anden sigt indstillet til nul.
   

   Du har allerede løsningen til den første periode. Hvis x
   \u003d 0, er hele udtrykket lig med nul. Så x
   \u003d 0 er en af rødderne eller nulene til polynomet.
   

   Nu skal du overveje den anden sigt og løse for x
   . Hvis du tilføjer 4 til begge sider, har du:
   

   x
   - 4 + 4 \u003d 0 + 4, hvilket forenkler til:
   

   x
   \u003d 4. Så hvis x
   \u003d 4, så er den anden faktor lig med nul, hvilket betyder, at hele polynomet også er lig med nul.
   

3. Liste over dine svar
   
   

   Fordi det originale polynom var af anden grad (den højeste eksponent var to), ved du, at der kun er to mulige rødder til dette polynom. Du har allerede fundet dem begge, så alt hvad du skal gøre er at liste dem:
   

   x
   \u003d 0, x
   \u003d 4
   
   Find Roots by Factoring: Eksempel 2
   

   Her er endnu et eksempel på, hvordan man finder rødder ved factoring, ved hjælp af en smuk algebra undervejs. Overvej polynomet x
   4 - 16. Et hurtigt kig på dets eksponenter viser dig, at der skal være fire rødder til dette polynom; nu er det tid til at finde dem.
   

   1. Faktor om polynomet
      
      

      Har du bemærket, at dette polynom kan skrives om som forskellen på firkanter? Så i stedet for x
      4 - 16, har du:
      

      ( x
      ^{2) 2 - 4 2}
      

      Hvilket ved hjælp af formlen for forskellen i firkanter faktorer ud til følgende:
      

      ( x
      ^{2 - 4) ( x
      2 + 4)}
      

      Den første term er igen en forskel på firkanter. Så selvom du ikke kan faktorere udtrykket til højre længere, kan du faktorere udtrykket til venstre et trin mere:
      

      ( x
      - 2) ( x
      + 2) ( x
      ^{2 + 4)}
      

   2. Find nulerne
      
      

      Nu er det tid til at finde nulerne. Det bliver hurtigt klart, at hvis x
      \u003d 2, den første faktor er lig med nul, og dermed hele udtrykket vil være lig med nul.
      

      Tilsvarende, hvis x
      \u003d - 2, den anden faktor er lig med nul og således vil hele udtrykket være.
      

      Så x
      \u003d 2 og x
      \u003d -2 er begge nuller eller rødder, af dette polynom.
      

      Men hvad med den sidste periode? Fordi det har en "2" eksponent, bør den have to rødder. Men du kan ikke faktor dette udtryk ved hjælp af de rigtige tal, du er vant til. Du bliver nødt til at bruge et meget avanceret matematisk koncept kaldet imaginære tal eller, hvis du foretrækker, komplekse tal. Det er langt uden for omfanget af din nuværende matematikpraksis, så det er i øjeblikket nok at bemærke, at du har to rigtige rødder (2 og -2), og to imaginære rødder, som du efterlader udefineret.
      
      Find rod ved at tegne grafik

      Du kan også finde, eller i det mindste estimere, rødder ved at tegne graf. Hver rod repræsenterer et sted, hvor grafen for funktionen krydser x
      aksen. Så hvis du tegner linjen og derefter noterer x
      -koordinaterne, hvor linjen krydser x
      aksen, kan du indsætte de estimerede x
      værdier for disse punkter i disse punkter i din ligning og kontroller, om du har fået dem rigtige.
      

      Overvej det første eksempel, du arbejdede, for polynomet x
      ^{2 - 4_x_. Hvis du tegner den omhyggeligt, vil du se, at linjen krydser x
      aksen ved x
      \u003d 0 og x
      \u003d 4. Hvis du indtaster hver af disse værdier i den oprindelige ligning, får du:}
      

      0 ^{2 - 4 (0) \u003d 0, så x
      \u003d 0 var en gyldig nul eller rod til dette polynom .}
      

      4 ^{2 - 4 (4) \u003d 0, så x
      \u003d 4 er også en gyldig nul eller rod til dette polynom. Og fordi polynomet var i grad 2, ved du, at du kan stoppe med at passe på at finde to rødder.}