Fodbold med Frobenius: Super Bowl Math Problem

Med Super Bowl lige rundt om hjørnet har atleter og fans i verden deres fokus fast på det store spil. Men for _math_letes kan det store spil mindske et lille problem i relation til de mulige scoringer i et fodboldspil. Med kun begrænsede muligheder for det antal point, du kan score, kan nogle totaler simpelthen ikke nås, men hvad er det højeste? Hvis du vil vide, hvad der forbinder mønter, fodbold og McDonald's kyllingnuggets, er dette et problem for dig.
Super Bowl Math Math Problem -

Problemet involverer de mulige score enten Los Angeles Rams eller New England Patriots kunne muligvis opnå søndag uden nogen sikkerhed eller en to-punkts konvertering. Med andre ord, de tilladte måder at øge deres score på er 3-punkts feltmål og 7-punkts touchdowns. Så uden safeties kan du ikke opnå en score på 2 point i et spil med nogen kombination af 3'ere og 7'ere. Tilsvarende kan du heller ikke opnå en score på 4, og du kan heller ikke score 5.

Spørgsmålet er: Hvad er den højeste score, som ikke kan opnås med kun 3-point feltmål og 7-punkts touchdowns?

Naturligvis er touchdowns uden en konvertering værd 6, men da du alligevel kan komme til det med to feltmål, betyder det ikke noget for problemet. Eftersom vi har med matematik at gøre her, behøver du ikke at bekymre dig om det specifikke holds taktik eller endda nogen grænser for deres evne til at score point.

Prøv at løse dette selv, før du går videre!
Find en løsning (den langsomme måde)

Dette problem har nogle komplekse matematiske løsninger (se Ressourcer for detaljerede oplysninger, men hovedresultatet vil blive introduceret nedenfor), men det er et godt eksempel på, hvordan dette ikke er ' t nødvendigt
for at finde svaret.

Alt hvad du skal gøre for at finde en brute-force-løsning er blot at prøve hver af de scoringer i tur og ordning. Så vi ved, at du ikke kan score 1 eller 2, fordi de er mindre end 3. Vi har allerede konstateret, at 4 og 5 ikke er mulige, men 6 er, med to feltmål. Kan du score 8 efter 7 (hvilket er muligt)? Nix. Tre feltmål giver 9, og et feltmål og en konverteret touchdown gør 10. Men du kan ikke få 11.

Fra dette punkt og frem viser et lille arbejde, at:
\\ begynde {justert} 3 × 4 & \u003d 12 \\\\ 7 + (3 × 2) & \u003d 13 \\\\ 7 × 2 & \u003d 14 \\\\ 3 × 5 & \u003d 15 \\\\ 7 + (3 × 3) & \u003d 16 \\\\ (7 × 2) + 3 & \u003d 17 \\ end {align}

Og i virkeligheden kan du fortsætte med det så længe du vil. Svaret ser ud til at være 11. Men er det?
Den algebraiske løsning -

Matematikere kalder disse problemer "Frobenius-møntproblemer." Den oprindelige form relateret til mønter, såsom: Hvis du kun havde mønter værdsat 4 cent og 11 cent (ikke rigtige mønter, men igen, det er matematiske problemer for dig), hvad er det største beløb, du ikke kunne producere.

Løsningen, hvad angår algebra, er den med en score værd p
point og en score værd q
point, den højeste score du ikke kan få ( N
) er givet af:
N \u003d pq \\; - \\; (p + q)

Så tilslutning af værdierne fra Super Bowl-problemet giver:
\\ begin {align} N & \u003d 3 × 7 \\; - \\; (3 + 7) \\\\ & \u003d 21 \\; - \\; 10 \\\\ & \u003d 11 \\ end {alignet}

Hvilket svar har vi den langsomme vej. Så hvad nu hvis du kun kunne score touchdowns uden konvertering (6 point) og touchdowns med et-point konverteringer (7 point)? Se om du kan bruge formlen til at udarbejde den, før du læser videre.

I dette tilfælde bliver formlen:
\\ begynde {justert} N & \u003d 6 × 7 \\; - \\; (6 + 7) \\\\ & \u003d 42 \\; - \\; 13 \\\\ & \u003d 29 \\ end {aliens} The Chicken McNugget-problemet

Så spillet er forbi, og du vil belønne det vindende hold med en tur til McDonald's. Men de sælger kun McNuggets i kasser på 9 eller 20. Så hvad er det højeste antal nuggets, du ikke kan købe med disse (forældede) boksnumre? Forsøg at bruge formlen til at finde svaret, før du læser videre.

Siden
N \u003d pq \\; - \\; (p + q)

Og med p
\u003d 9 og q
\u003d 20:
\\ begynde {justeret} N & \u003d 9 × 20 \\; - \\; (9 + 20) \\\\ & \u003d 180 \\; - \\; 29 \\\\ & \u003d 151 \\ end {alignet}

Så forudsat at du købte mere end 151 nuggets - det vindende hold vil sandsynligvis være temmelig sultne - når alt kommer til alt - kan du købe et hvilket som helst antal nuggets, du ønsket, med en boksekombination.

Du undrer dig måske over, hvorfor vi kun har dækket to-nummerversioner af dette problem. Hvad hvis vi inkorporerede safeties, eller hvis McDonalds solgte tre størrelser af nugget-kasser? Der er ingen klar formel
i dette tilfælde, og selvom de fleste versioner af det kan løses, er nogle aspekter af spørgsmålet fuldstændig uopløst.

Så måske når du ser spillet eller spiser små bid af kylling kan du hævde, at du prøver at løse et åbent problem i matematik - det er værd at prøve at komme ud af pligter!