Udforske dybere forståelse og bedre beskrivelse af netværk

Siden begyndelsen af ​​forrige århundrede har forskning i komplekse systemer har avanceret inden for kaos, fraktaler og netværk. Et netværk består af noder og kanter, hvor noder repræsenterer elementerne i et komplekst system og kanter beskriver interaktionerne mellem dem. Sådanne node-edge-relationer kan repræsenteres ved en adjacensmatrix, hvis rækkefølge svarer til antallet af noder og hver række-sum svarer til en knudegrad. Nodegraders heterogenitet fører til fremkomsten af ​​stjerneformede strukturer centreret ved knudepunkter.

For at imødegå heterogeniteten af ​​nodegrader, den skalafrie netværksmodel kom i spil, tiltrækker bred opmærksomhed. Til dato, efterhånden som internetteknologien skrider frem og netværksforskningen fortsætter, forskere har indset, at den traditionelle opfattelse af stjernebaserede heterogene netværk ikke er tilstrækkelig til at beskrive udviklede komplekse netværk og og netværksvidenskabelige problemer. For eksempel, der er mange onlinesamfund på internettet, der er afhængige af cyklusbaserede sociale strukturer til gruppekommunikation og informationsspredning.

Netværksfunktion og dynamiske egenskaber har flere og tættere forbindelser til topologiske netværkstopologiske funktioner, homogene substrukturer og topologiske invarianter. Dermed, at flytte fokus fra nodegrader til cyklustal afslører mange totalt homogene subnetværk i komplekse netværk. Her, et totalt homogent netværk er defineret til at være et netværk med noder med samme grad, samme omkreds (antal kanter i den mindste cyklus af en knude), og samme stisum (sum af korteste veje til en knude fra alle andre noder). Et par typiske eksempler er vist i figur 1 til illustration.

I slutningen af ​​1800 -tallet, Poincaré fandt ud af, at grænser er nøglen til at differentiere geometriske former såsom diske, kugler og tori. Han dekomponerede et geometrisk objekt i grundlæggende komponenter kaldet simplexer (punkt, linje, trekant, tetraeder, etc.), og introducerede derefter begreberne homologi -gruppering, Betti nummer og node-edge korrelation matrix, og Euler-Poincaré-formlen, hvilket viser, at den alternative summering af simplexer er lig med den alternative summering af Betti -tal.

Poincarés grundidé er at opdele en kompleks geometrisk form for at forenkle proceduren for en løsning. Han var i stand til at gøre det, fordi der er mange totalt homogene undernetværk, såsom trekanter og tetraeder (kaldet klikker i grafteori eller simplexer i topologi) i et komplekst netværk. De er grundlæggende strukturer til understøttelse af netværksfunktioner - adskiller sig fra stjerner, de er cykler. Med disse grundlæggende elementer, det er muligt at beskrive et netværk ved hjælp af en række vektorrum over det binære felt.

For eksempel, vektorrummet har kanter som grundlag, med dimension svarende til antallet af kanter; vektorrummet har trekanter som grundlag, med dimension svarende til antallet af trekanter, og så videre. Da grænsen for en trekant består af kanter, de to tilstødende vektorrum og kan korreleres via en grænseoperator, og dens grænsematrix kan bruges til præsentation og analyse. Grænsematricen har et rigere matematisk indhold og er mere nyttig end adjacensmatrixen. For eksempel, ved hjælp af grænsematrixens rang kan man beregne Betti -nummeret, en vigtig invariant af netværket, som er antallet af lineært uafhængige hulrum i forskellige ordrer i netværket, etablering af en homologigruppe. Figur 2 viser relationerne mellem nogle vektorrum og deres tilsvarende grænseoperatorer.

I 2002, Xiaofan Wang og Guanrong Chen offentliggjorde det første kriterium for netværkssynkronisering. Det blev efterfulgt af en række værker, herunder introduktion af totalt homogene netværk via optimering af Dinghua Shi, Guanrong Chen og Xiaoyong Yan i 2013, afslører, at det totalt homogene netværk med en længere omkreds og en kortere stisum har en bedre synkronisering mellem netværk af samme størrelse. Ud over, i 2006, Linyuan Lü og Tao Zhou brugte H-operatoren til at afdække forholdet mellem nodegrad, H-indeks og kerneværdi, etablering af DHC -sætningen. I undersøgelsen af ​​cyklusindeks, et vigtigt arbejde er den empiriske undersøgelse af Bassett et al. i 2018 på det hjernefunktionelle netværk, hvor de påpegede betydningen af ​​klik og hulrum i netværksfunktion. Sidst men ikke mindst, vi opdagede for nylig det tætte forhold mellem Eulers karakteristiske tal og netværkssynkroniserbarhed.

Denne række vigtige progressive resultater demonstrerer betydningen og betydningen af ​​tværfaglig forskning inden for fysik, biologi og matematik. I betragtning af at denne nye retning af netværksstrukturanalyse ved hjælp af algebraiske topologiske værktøjer er lovende, forskerne valgte at offentliggøre deres nuværende papir, "Helt homogene netværk, "i National Science Review .