Illustration af XPCS-eksperimenterne. Translationen og rotationen af partiklerne inden for spredningsvolumenet fører til variation af de plettede mønstre vist til højre. Mens de kornede, støjlignende tekstur får disse billeder til at se visuelt ens ud, MTECS-algoritmen er i stand til at detektere og analysere små variationer mellem mønstre. Kredit:Zixi Hu, UC Berkeley
Matematikere ved Center for Advanced Mathematics for Energy Research Applications (CAMERA) ved Lawrence Berkeley National Laboratory (Berkeley Lab) har udviklet en matematisk algoritme til at tyde rotationsdynamikken af snoede partikler i store komplekse systemer ud fra røntgenstrålespredningsmønstre observeret i meget høje sofistikerede røntgenfoton-korrelationsspektroskopi (XPCS) eksperimenter.
Disse eksperimenter - designet til at studere egenskaberne af suspensioner og opløsninger af kolloider, makromolekyler, og polymerer – er blevet etableret som centrale videnskabelige drivere til mange af de igangværende sammenhængende lyskildeopgraderinger, der finder sted inden for det amerikanske energiministerium (DOE). De nye matematiske metoder, udviklet af CAMERA teamet af Zixi Hu, Jeffrey Donatelli, og James Sethian, har potentiale til at afsløre langt mere information om komplekse materialers funktion og egenskaber, end det tidligere var muligt.
Partikler i en suspension gennemgår brownsk bevægelse, vifter rundt, mens de bevæger sig (oversætter) og drejer (roterer). Størrelsen af disse tilfældige udsving afhænger af materialernes form og struktur og indeholder information om dynamik, med anvendelser på tværs af molekylærbiologi, opdagelse af lægemidler, og materialevidenskab.
XPCS fungerer ved at fokusere en sammenhængende stråle af røntgenstråler for at fange lys spredt fra partikler i suspension. En detektor opfanger de resulterende pletter, som indeholder flere bittesmå udsving i signalet, der koder for detaljerede oplysninger om dynamikken i det observerede system. For at udnytte denne evne, de kommende opgraderinger af sammenhængende lyskilde hos Berkeley Labs Advanced Light Source (ALS), Argonnes avancerede fotonkilde (APS), og SLACs Linac Coherent Light Source planlægger alle nogle af verdens mest avancerede XPCS-eksperimenter, drage fordel af den hidtil usete sammenhæng og lysstyrke.
Men når først du har indsamlet data fra alle disse billeder, hvordan får du brugbar information ud af dem? En arbejdshestteknik til at udtrække dynamisk information fra XPCS er at beregne det, der er kendt som den tidsmæssige autokorrelation, som måler hvordan pixels i speckle-mønstrene ændrer sig efter et vist stykke tid. Autokorrelationsfunktionen syr stillbillederne sammen, ligesom en gammeldags film kommer til live, når nært beslægtede postkortbilleder flyver forbi.
Nuværende algoritmer har hovedsageligt været begrænset til at udtrække translationelle bevægelser; tænk på en Pogo-pind, der hopper fra sted til sted. Imidlertid, ingen tidligere algoritmer var i stand til at udtrække information om "rotationsdiffusion" om, hvordan strukturer spinner og roterer - information, der er afgørende for at forstå et fysisk systems funktion og dynamiske egenskaber. At komme til denne skjulte information er en stor udfordring.
Vrider lyset væk
Et gennembrud kom, da eksperter mødtes til en CAMERA-workshop om XPCS i februar 2019 for at diskutere kritiske nye behov på området. Udvinding af rotationsdiffusion var et nøglemål, og Hu, en UC Berkeley matematik kandidatstuderende; Donatelli, CAMERA Lead for Matematik; og Sethian, Professor i matematik ved UC Berkeley og CAMERA Director, gik sammen om at tackle problemet direkte.
Resultatet af deres arbejde er en kraftfuld ny matematisk og algoritmisk tilgang til at udtrække rotationsinformation, arbejder nu i 2D og kan nemt skaleres til 3D. Med bemærkelsesværdigt få billeder (mindre end 4, 000), metoden kan nemt forudsige simulerede rotationsdiffusionskoefficienter inden for nogle få procent. Detaljer om algoritmen blev offentliggjort 18. august i Proceedings of the National Academy of Sciences .
Nøgleideen er at gå ud over standard autokorrelationsfunktionen, i stedet for at søge den ekstra information om rotation indeholdt i vinkel-temporale krydskorrelationsfunktioner, som sammenligner hvordan pixels ændrer sig i både tid og rum. Dette er et stort spring i matematisk kompleksitet:Simple datamatricer bliver til 4-vejs datatensorer, og teorien, der relaterer rotationsinformationen til disse tensorer, involverer avanceret harmonisk analyse, lineær algebra, og tensoranalyse. For at relatere den ønskede rotationsinformation til dataene, Hu udviklede en meget sofistikeret matematisk model, der beskriver, hvordan de vinkel-temporale korrelationer opfører sig som en funktion af rotationsdynamikken fra dette nye komplekse sæt ligninger.
"Der var masser af lagdelte mysterier at optrevle for at bygge en god matematisk og algoritmisk ramme til at løse problemet, " sagde Hu. "Der var information relateret til både statiske strukturer og dynamiske egenskaber, og disse egenskaber skulle udnyttes systematisk for at opbygge en konsistent ramme. Taget sammen, de giver en vidunderlig mulighed for at flette mange matematiske ideer sammen. Det var sjovt at få denne tilgang til at hente nyttige oplysninger ud af, hvad der ved første øjekast ser ud til at være meget støjende."
Imidlertid, at løse dette sæt af ligninger for at genvinde rotationsdynamikken er udfordrende, da den består af flere lag af forskellige typer matematiske problemer, som er svære at løse på én gang. For at tackle denne udfordring, holdet byggede på Donatellis tidligere arbejde med Multi-Tiered Iterative Projections (M-TIP), som er designet til at løse komplekse omvendte problemer, hvor målet er at finde det input, der producerer et observeret output. Ideen med M-TIP er at dele et komplekst problem op i underdele, ved at bruge den bedste inversion/pseudoinversion du kan for hver underdel, og gentag disse underløsninger, indtil de konvergerer til en løsning, der løser alle dele af problemet.
Hu og hans kolleger tog disse ideer og byggede en søstermetode, "Multi-tiered estimering for korrelationsspektroskopi (M-TECS), " at løse det komplekse lagdelte sæt af ligninger gennem systematiske deltrin.
"Det stærke ved M-TECS-tilgangen er, at den udnytter det faktum, at problemet kan adskilles i højdimensionelle lineære dele og lavdimensionelle ikke-lineære og ikke-konvekse dele, som hver for sig har effektive løsninger, men de ville blive til et overordentlig vanskeligt optimeringsproblem, hvis de i stedet skulle løses for alle på én gang, " sagde Donatelli.
"Dette er det, der gør M-TECS i stand til effektivt at bestemme rotationsdynamik ud fra et så komplekst system af ligninger, der henviser til, at standardoptimeringstilgange ville løbe ind i problemer både med hensyn til konvergens og beregningsomkostninger."
Åbner døren til nye eksperimenter
"XPCS er en kraftfuld teknik, der vil være en fremtrædende plads i ALS-opgraderingen. Dette arbejde åbner en ny dimension til XPCS, og vil give os mulighed for at udforske dynamikken i komplekse materialer såsom roterende molekyler inde i vandkanaler, " sagde Alexander Hexemer, Programleder for computing på ALS.
Hu, der vandt UC Berkeleys Bernard Friedman-pris for dette arbejde, har tilsluttet sig CAMERA—en del af Berkeley Labs Computational Research Division—som dets nyeste medlem. "Denne form for matematisk og algoritmisk co-design er kendetegnende for god anvendt matematik, hvor ny matematik spiller en central rolle i løsningen af praktiske problemer på forkant med videnskabelig undersøgelse, " sagde Sethian.
CAMERA-teamet arbejder i øjeblikket med beamline-forskere ved ALS og APS for at designe nye XPCS-eksperimenter, der fuldt ud kan udnytte holdets matematiske og algoritmiske tilgang til at studere nye rotationsdynamiske egenskaber fra vigtige materialer. Holdet arbejder også på at udvide deres matematiske og algoritmiske rammearbejde for at gendanne mere generelle typer af dynamiske egenskaber fra XPCS, samt anvende disse metoder til andre korrelationsbilleddannelsesteknologier.
Dette arbejde er støttet af CAMERA, som er i fællesskab finansieret af Office of Advanced Scientific Computing Research og Office of Basic Energy Sciences, begge inden for US Department of Energy's Office of Science.