Sådan beregnes vinklen på en sektor

Cirkler er overalt i den virkelige verden, hvorfor deres radii, diametre og omkreds er vigtige i virkelige applikationer. Men der er andre dele af cirkler - f.eks. Sektorer og vinkler - som også har betydning for hverdagen. Eksempler er sektorstørrelser af cirkulær mad som kager og tærter, vinklen rejst i et pariserhjul, dimensionering af et dæk til et bestemt køretøj og især størrelsen af ​​en ring til et engagement eller bryllup. Af disse grunde og mere har geometri også ligninger og problemberegninger, der beskæftiger sig med centrale vinkler, buer og sektorer i en cirkel.

Hvad er den centrale vinkel?

Den centrale vinkel er defineret som vinkel skabt af to stråler eller stråler, der udstråler fra midten af ​​en cirkel, med cirklens center er hjørnet af den centrale vinkel. Centrale vinkler er særligt relevante, når det drejer sig om jævnt at opdele pizza eller enhver anden cirkulærbaseret mad blandt et bestemt antal mennesker. Sig, at der er fem personer på en soiree hvor en stor pizza og en stor kage skal deles. Hvad er den vinkel, som både pizzaen og kagen skal opdeles på for at sikre et ensartet udsnit til alle? Da der er 360 grader i en cirkel, bliver beregningen 360 grader divideret med 5 for at nå 72 grader, således at hver skive, hvad enten den er pizza eller kagen, vil have en central vinkel eller teta (θ), der måler 72 grader.

Bestemmelse af den centrale vinkel fra arklængden

En cirkelbue refererer til en "del" af cirkelens omkreds. Bue længden er derfor længden af ​​den "del." Hvis du forestiller dig en pizza skive, kan sektorområdet visualiseres som hele skiverne af pizza, men bue længden er længden af ​​den yderste kant af skorpen til det pågældende skive. Fra buenlængden kan den centrale vinkel beregnes. Faktisk kan en formel, der kan hjælpe med at bestemme den centrale vinkel, angive, at buelængden er lig med radius gange den centrale vinkel, eller s = r × θ, hvor vinklen, theta, skal måles i radianer. Så for at løse for den centrale vinkel, theta, behøver man kun dividere buenlængden med radiusen, eller s ÷ r = θ. For at illustrere, hvis bue længden er 5,9 og radius er 3.5329, bliver den centrale vinkel 1,67 radianer. Et andet eksempel er, hvis lysbuen er 2 og radiusen er 2, den centrale vinkel bliver 1 radian. Hvis du vil konvertere radianer til grader, husk at 1 radian er lig med 180 grader divideret med π eller 57.2958 grader. Omvendt, hvis en ligning beder om at omdanne grader tilbage til radianer, skal du først multiplicere med π og derefter opdele 180 grader.

Bestemmelse af den centrale vinkel fra sektorområdet

En anden nyttig formel til bestemme den centrale vinkel er tilvejebragt af sektorområdet, som igen kan visualiseres som et stykke pizza. Denne særlige formel kan ses på to måder. Den første har den centrale vinkel målt i grader, så sektorområdet svarer π gange radiuskvadratet og multipliceres derefter med mængden af ​​den centrale vinkel i grader divideret med 360 grader. Med andre ord:

(πr ^{2) × (central vinkel i grader ÷ 360 grader) = sektorareal.}

Hvis den centrale vinkel måles i radianer, bliver formlen i stedet :

sektorområde = r ^{2 × (central vinkel i radianer ÷ 2).}

Omformning af formlerne hjælper med at løse værdien af ​​den centrale vinkel eller theta. Overvej et sektionsareal på 52,3 kvadratcentimeter med en radius på 10 centimeter. Hvad ville dens centrale vinkel være i grader? Beregningerne vil begynde med et sektionsareal på 52,3 kvadratcentimeter, der er lig med:

(θ ÷ 360 grader) × πr ^2.

Da radiusen (r) er lig med 10, hele ligningen kan skrives som:

(52,3 ÷ 100π) × 360

så theta kan skrives som:

(52,3 ÷ 314) × 360.

Således bliver det endelige svar en central vinkel på 60 grader.