Fanget i midten:Billard med hukommelsesramme fører til matematiske spørgsmål

Tilføjelse af en simpel regel til et idealiseret spil billard fører til et væld af spændende matematiske spørgsmål såvel som anvendelser i levende organismers fysik. I denne uge har forskere fra University of Amsterdam, inklusive to masterstuderende som førsteforfattere – udgivet en artikel i Physical Review Letters om den fascinerende dynamik i billard med hukommelse.

En idealiseret udgave af spillet billard har fascineret matematikere i årtier. Det grundlæggende spørgsmål er simpelt:Når en billardbold er spillet, hvor bliver den af, og hvor ender den så? Antag, at billard er perfekt:Væggene er perfekt hoppende, der er ingen andre genstande på bordet, boldens bevægelse er friktionsfri, og så videre. Så vil bolden ikke rigtig "ende" nogen steder; det vil fortsætte for evigt.

Men vender den nogensinde tilbage, hvor den startede? Besøger den i sidste ende alle dele af bordet? Når vi en smule ændrer boldens retning eller dens startplacering, ligner stien den følger den forrige?

Alle disse spørgsmål viser sig at være meget spændende fra et matematisk synspunkt. Deres svar er ikke altid kendt - især når formen på billarden ikke er enkel, som en firkant eller et rektangel. For eksempel på trekantet billard med hjørner på mindre end 100 grader, er det kendt, at der altid er periodiske stier - stier, som bolden kan følge, og som vender tilbage til sig selv.

Dette kan bevises matematisk. Skift nu et af hjørnerne til en lidt større vinkel, og ingen matematiker kender svaret længere.

Idealiserede billardspil er ikke kun matematikernes yndlingsbeskæftigelse. De har også en dyb indvirkning på fysik og andre videnskaber. Mange af spørgsmålene om billard kan formuleres som spørgsmål om kaos:Gør lignende begyndelsesbetingelser for et dynamisk system - uanset om det er en kugle på et billardbord, et molekyle i en gas eller en fugl i en flok - altid føre til lignende slutresultater resultater?

En ny regel

I forskning udført på universitetet i Amsterdam har et hold fysikere indset, at ved at ændre billardspillets regler lidt, stiger antallet af ansøgninger i den virkelige verden endnu mere.

Mazi Jalaal, medforfatter til publikationen og leder af den gruppe, som forskningen blev lavet i, forklarer:"I naturen har mange levende organismer en ekstern form for hukommelse. De efterlader for eksempel spor for at huske, hvor de har været. De kan derefter bruge denne information til enten at følge den samme rute igen, eller - for eksempel når de søger efter mad - til ikke at udforske den samme region igen."

Sidstnævnte mulighed førte forskerne til en interessant idé:Hvad hvis vi tilføjer én regel til billardspillet, nemlig at bolden aldrig må krydse sin egen tidligere vej? Resultatet er, at den effektive størrelse af billardbordet bliver mindre og mindre. Faktisk bliver bolden til sidst fanget af sin egen bane.

Spændende nye spørgsmål

Fangsteffekten gør systemet endnu mere spændende. Selv simple spørgsmål bliver nu ekstremt fascinerende. Hvor langt rejser en bold, før den bliver fanget? Svaret varierer, både på bordets form og på boldens udgangspunkt og retning.

Nogle gange rejser bolden en længde, der kun er et par gange bordets størrelse, nogle gange kan den gå 100 gange så lang, før den bliver fanget. Hvor bolden til sidst ender i sin fanget tilstand er også et indviklet spørgsmål; gentagelse af eksperimentet på en computer millioner af gange, hver gang med en lidt anden startposition og hastighed, fører til smukke mønstre af endelige konfigurationer.

Billedet øverst i denne tekst viser nogle af disse smukke eksempler. Interessant nok kan de resulterende dynamiske systemer være kaotiske. Hvis den selvundgående bolds startposition eller hastighed kun ændres en smule, kan det føre til, at den bliver fanget på et helt andet sted på billarden.

Derudover, i modsætning til hvad der sker på et almindeligt billardbord, er det ikke lige så sandsynligt, at den selvundgående bold ender hvor som helst. Nogle regioner er mere sandsynlige end andre. For at forklare og bevise alle disse træk, har matematikerne bestemt deres arbejde skåret ud.

Uendelige applikationer

En interessant egenskab ved publikationen er, at begge dens førsteforfattere er masterstuderende. Jalaal tilføjer, "Ideen om en 'billard med hukommelse' er enkel nok og ny nok til, at det ikke kræver mange års erfaring at studere det. Thijs og Stijn gjorde et fantastisk stykke arbejde med at gøre materialet til deres eget og finde smarte måder at studere alle disse på. nye åbne problemer. Jeg er meget glad for, at de allerede kan være hovedforfattere af en publikation."

Resultaterne er kun de første skridt i, hvad der kunne være et helt nyt forskningsområde. Ikke alene er der mange interessante matematiske spørgsmål, der nu venter på at blive besvaret; anvendelserne i fysik, herunder biofysik, er også uendelige.

Jalaal siger:"Begrebet fældefangst er et, der beder om at blive udforsket, også i virkelige systemer. For eksempel ved vi, at encellede slimforme bruger selvundgående stier. Bliver de også fanget, og hvad sker der, når de gør eller har de smarte mekanismer til at undgå, at dette overhovedet sker. Bruger de det til at forbedre søgestrategier for mad?

"Resultaterne ville hjælpe os til bedre at forstå disse biologiske systemer og måske endda inkorporere de erfaringer, vi lærer for at optimere denne form for billard med hukommelse til brug i robotter."

Flere oplysninger: Thijs Albers et al., Billard med rumlig hukommelse, Physical Review Letters (2024). DOI:10.1103/PhysRevLett.132.157101. På arXiv :DOI:10.48550/arxiv.2307.01734

Journaloplysninger: Physical Review Letters , arXiv

Leveret af University of Amsterdam