Sådan konverteres binær til decimal (og omvendt)

Mennesker brugte de sidste fem og et halvt årtusinde på at opfinde over 100 forskellige måder at skrive tal på. Med behørig respekt for romertal er verdens foretrukne teknik lige nu - med stor margin - det moderne decimalsystem. Dens brugere kan udtrykke ethvert helt tal, de kan lide, med kun 10 små tegn:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9.

Men din computer tager en anden tilgang. Bærbare computere, smartphones og andre enheder er afhængige af binær kode. Et matematisk sprog, binært videresender instruktioner til disse højteknologiske dimser. Den fortæller din computer, hvordan en podcasters stemme lyder, hvilke farver der skal vises i en YouTube-video, og hvor mange bogstaver der blev brugt i den e-mail, som din chef lige har sendt.

Binær kode lever op til sit navn. I modsætning til decimaltalsystemet bruger det kun to cifre, som programmører kalder "bits". Normalt er der "0", og der er "1". Og det er alt. Heldigvis viser vi dig, hvordan du konverterer et binært tal til det mere velkendte decimalsystem. Så vil vi, som en god tryllekunstner, gøre det stik modsatte ved at bringe decimalen til binær værdi.

1. Kend dine eksponenter
2. Forstå det binære talsystem
3. Konvertering af binære tal til decimalværdi
4. Bestemmelse af decimalækvivalenten
5. Formel til decimalkonvertering
6. Fortolkning af decimalværdien

Kend dine eksponenter

Forståelse af positionsnotation er nøglen til at håndtere både talsystemerne og konverteringerne. Hvert ciffer spiller sin rolle i beregningen, fra den mest signifikante bit til den mindst signifikante bit. Teknisk set er 0 og 1 de eneste bits, du behøver for at skrive binære tal. Men for at give mening af dem skal du forstå en tredje værdi:2.

Det er bedst, hvis vi forklarer dette som eksempel. Nummeret 138 er korrekt udtrykt i binær kode som "10001010 ." Hvordan kan din computer fortælle, at denne tilsyneladende streng af volapyk betyder "138"? Programmering er en del af svaret. Nogen har informeret din enhed om, at - i dette tilfælde - den binære kode staver et tal i stedet for et skrevet ord eller en sætning; der er en separat metode til at afkode sidstnævnte.

Når dette grundlæggende faktum er etableret, fungerer koden ved at tildele en anden eksponent på 2 til hver enkelt bit (dvs. hver 0 og hver 1). En eksponent er en værdi ganget med sig selv et vist antal gange. Altså 2 til tredje potens, skrevet som 2 ³ , er 2 x 2 x 2, hvilket svarer til 8.

Nyd venligst følgende kræfter på 2-listen. Stol på os, du vil snart se på det her.

2 =1

2 ¹ =2

2 ² =4

2 ³ =8

2 ⁴ =16

2 ⁵ =32

2 ⁶ =64

2 ⁷ =128

2 ⁸ =256

2 ⁹ =512

2 ¹⁰ =1024

Forstå det binære talsystem

Lad os nu gå tilbage til vores oprindelige binære tal:10001010. Hvis engelsk er dit modersmål, så vær klar, da du er ved at kæmpe mod dine instinkter. Se, skrevet engelsk læses fra venstre mod højre. Men nu er vi nødt til at nedbryde det binære tal ved at gå i den modsatte retning:fra højre mod venstre.

I ethvert binært tal skal den bit, der er længst til højre ganges med 2. Derefter ganges den bit, der er umiddelbart til venstre, med 2 ¹ . Dernæst biten til den venstre ganges med 2 ² . Og så videre og så videre. Lægger du mærke til et mønster her? De individuelle eksponenter af 2 bliver brugt i stigende rækkefølge, fra højre mod venstre .

OK, så nu er vores opgave at holde det mønster i gang, indtil vi har matchet en eksponent på 2 til hver bit - hver enkelt 0 og 1 - i det binære tal. Vi stopper, når den sidste bit, den yderst til venstre, er blevet ganget med den relevante eksponent for 2.

En nyttig måde at holde dine figurer ved lige er fysisk at placere eksponenterne over deres tilsvarende binære bits på et ark papir. Ideelt set skulle det se sådan ud:

Konvertering af binære tal til decimalværdi

Gode ​​ting. Okay, lad os nu vende tilbage til den faktiske binære til decimalkonvertering. Fordi 10001010 indeholder 8 individuelle bit, skal vi lave 8 separate multiplikationsproblemer. Lad os begynde med 0-tallet yderst til højre. Hvad er 0 x 2? Det rigtige svar er 0.

Et problem tilbage, syv tilbage. Flyt et mellemrum til venstre. Ser du "1" der? Nå, 1 x 2 ¹ =2. Flyt nu endnu et mellemrum til venstre. Hvis du gør det, får du 0 x 2 ² , som er lig med 0. Hvis du fortsætter med at bruge dette mønster og fortsætter fra cifferet længst til højre til cifferet længst til venstre, kan du konstatere her:

0 x 2 =0

1 x 2 ¹ =2

0 x 2 ² =0

1 x 2 ³ =8

0 x 2 ⁴ =0

0 x 2 ⁵ =0

0 x 2 ⁶ =0

1 x 2 ⁷ =128

Bestemmelse af decimalækvivalenten

Hold da op, vi er næsten i mål! Tag resultaterne af alle disse multiplikationsproblemer og læg dem sammen. Ikke multiplicer, tilføj . Erfaren? Hvad er 0 + 2 + 0 + 8 + 0 + 0 + 0 + 128 lig?

Før vi svarer på det, lad os slippe af med alle de nuller. Vi har ikke brug for dem i et tilføjelsesproblem. Alt, hvad vi egentlig skal gøre, er at løse dette puslespil:2 + 8 + 128 =? Gæt hvad? Det endelige svar er 138 . Tillykke, vi er nået fuld cirkel! Tag en sejrsrunde.

Bemærk, at 138 er et helt tal. Der er en teknik til at konvertere tal med en brøkkomponent, som 0,25 og 3,14, til binære. Men fuld afsløring:Det er lidt kompliceret. Hvis det ikke generer dig, og du gerne vil vide mere, tilbyder Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE) en standardiseret konverteringsmetode.

Decimalkonverteringsformel

Efter at have ændret "10001010" til "138", er det tid til at vende vores proces. Antag, at du startede med 138 og skulle konvertere den til binær. Hvordan ville du gøre det? Endnu en gang er eksponenter nøglen til hele hændelsen.

Se igen vores "powers of 2" liste. Find den værdi, der kommer tættest på 138 uden at overskride den . En hurtig genlæsning fortæller os, at 138 sidder mellem 256 (hvilket er 2 ⁸ ) og 128 (det er 2 ⁷ ). Nu skal vi trække 128 fra 138. Her er ligningen:138 - 128 =10

Tag derefter de 10 og tag en ny blik på eksponentlisten. Potensen af ​​2, der kommer tættest på at være lig med 10, er 2 ³ , eller 8. Så på dette tidspunkt er vores opgave at trække 8 fra 10. Sådan:10 - 8 =2. Og hvad ved du? Tallet 2 er lig med 2 ¹ . Denne proces gav os tre vigtige tal:128, 8 og 2. Vores næste mål er at lægge dem sammen:128 + 8 + 2 =138.

Fortolkning af decimalværdien

Find et stykke papir, hvis du ikke allerede har gjort det. Skriv værdien af ​​hver eksponent af 2 begyndende med "128" (husk, det er 2 ⁷ ) og "1" (som er lig med 2). Gør dette i faldende rækkefølge fra venstre mod højre . Og sørg for at efterlade lidt mellemrum mellem hvert tal.

Din skribleri skal se sådan ud:128 64 32 16 8 4 2 1. Som du kan se, er der otte individuelle værdier opført her. Tegn en nedadgående pil (↓) under hver værdi. Se derefter tilføjelsesproblemet, vi skrev ned ovenfor, det der siger 128 + 8 + 2 =138.

Kan du se et "128" i det problem? Hvis ja, skriv et "1" under den tilsvarende pil. Er der skrevet et "64" i ligningen? Nix! Så under den pil skriver vi et "0". Hold det samme mønster, og du får dette:

Ser du bekendt ud? Vi står tilbage med 10001010 - og som vi allerede har fastslået, betyder det "138." Så der går du. Kort fortalt har du lært det binære talsystem, decimalækvivalenten, og hvordan du fuldfører den binære til decimalkonvertering. Så har du brugt decimaltalsystemet til at ringe tilbage til kun to cifre. Vores ordsproglige tryllekunstner har fået kaninen til at forsvinde og bragt den tilbage igen. Gulerødder hele vejen rundt!

Det er nu sjovt

Den populære sci-fi komedieserie "Futurama" elsker sig selv nogle matematiske vittigheder. I sæson to-episoden "The Honking" bliver et hjemsøgt palæ viljet til den slyngede robot, Bender Bending Rodriguez. Da han går ind, er han bange for at opdage en hemmelig binær besked, der lyder "1010011010." Måske havde Bender ret i at være bange; i decimalform, der oversættes til "666."

Ofte besvarede spørgsmål

Hvad er det binære tal 11111111 i decimal?

Det binære tal 11111111 er lig med decimaltallet 255.