Proton og en alfapartikel frigives fra hvile, når de er 0,225 fra hinanden. Den har fire gange massen to ladning af en proton. Hvad er max hastighed proton?

Systemets indledende elektriske potentielle energi er:

$$U_i=k\frac{(2q)(q)}{r_i}$$

Hvor k er den elektrostatiske konstant og \(r_i=0,225m\). Systemets endelige kinetiske energi er:

$$K_f=\frac{1}{2}mv_p^2+\frac{1}{2}(4m)v_\alpha^2$$

Hvor \(v_p\) og \(v_\alpha\) er de endelige hastigheder for henholdsvis protonen og alfa-partiklen.

Ved at spare energi har vi:

$$U_i=K_f$$

$$k\frac{(2q)(q)}{r_i}=\frac{1}{2}mv_p^2+2(4m)v_\alpha^2$$

$$k\frac{(2q)(q)}{0,225m}=\frac{1}{2}mv_p^2+8mv_\alpha^2$$

$$9\times10^9\frac{Nm^2}{C^2}\frac{2(1,6\times10^{-19}C)(1,6\times10^{-19}C)}{0,225m}=\frac{1}{2}(1,67\times10^{-19}kg)v_p^2+8(1,67\times10^{-27}kg)v_\alpha^2$$

$$7,94\times10^{-18}J=1,67\times10^{-27}kg(v_p^2+8v_\alpha^2)$$

$$4,74\times10^{9}m^2s^{-2}=v_p^2+8v_\alpha^2$$

På grund af momentumbevarelse har vi:

$$0=(2q)v_p+(4q)v_\alpha$$

$$-2v_p=4v_\alpha$$

Substituerer i den foregående ligning:

$$4,74\times10^{9}m^2s^{-2}=v_p^2+8\left(-\frac{1}{2}v_p\right)^2$$

$$4,74\times10^{9}=v_p^2+v_p^2$$

$$4,74\times10^{9}=2v_p^2$$

$$v_p=\sqrt{\frac{4.74\times10^9}{2}}=\sqrt{2.37\times10^9}$$

$$\boxed{v_p=4.86\times10^4 m/s}$$