Moment of Inertia (Angular & Rotational Inertia): Definition, Equation, Units

Uanset om det er en skøjteløber, der trækker i hendes arme og roterer hurtigere, som hun gør, eller en kat, der styrer, hvor hurtigt den snurrer under et fald for at sikre, at den lander på dens fødder, er begrebet et træghetsmoment afgørende for rotationsbevægelsens fysik.

Ellers kendt som roterende inerti, er inertimomentet den roterende analoge af masse i det andet af Newtons bevægelseslove, der beskriver en objekts tendens til at modstå vinkelacceleration.

Begrebet virker måske ikke for interessant i starten, men i kombination med loven om bevarelse af vinkelmoment kan det bruges til at beskrive mange fascinerende fysiske fænomener og forudsige bevægelse i en lang række situationer.
Definition af momentet af inerti

Træghedsmomentet for et objekt beskriver dets modstand mod vinkelacceleration, der tegner sig for fordelingen af masse rundt dens rotati-akse på.

Det kvantificerer i det væsentlige, hvor vanskeligt det er at ændre hastigheden på et objekts rotation, hvad enten det betyder at starte dets rotation, stoppe det eller ændre hastigheden på et allerede roterende objekt.

Det nogle gange kaldet roterende inerti, og det er nyttigt at tænke på det som en analog til masse i Newtons anden lov: F _{net
\u003d ma
. Her kaldes objektets masse ofte den inertielle masse, og den beskriver objektets modstand mod (lineær) bevægelse. Rotationsinstruktion fungerer præcis som dette for rotationsbevægelse, og den matematiske definition inkluderer altid masse.}

Det ækvivalente udtryk til den anden lov for roterende bevægelse angår drejningsmoment
( τ
, rotationsanalogen af kraft) til vinkelacceleration α
og treghedsmoment I
: τ
\u003d Iα
.

Det samme objekt kan have flere inerti-øjeblikke, for selv om en stor del af definitionen handler om massefordelingen, tegner det sig også for placeringen af rotationsaksen.

For eksempel, mens treghetsmoment for en stang, der roterer rundt om dets centrum, er I
\u003d ML og ^{2/12 (hvor M
er masse og L
er længden af stangen), den samme stang, der roterer rundt om den ene ende, har et treghedsmoment givet af I
\u003d ML
2/3.
Ligninger for Træghetsmoment -}

Så et krops inerti-øjeblik afhænger af dens masse M
, dets radius R
og dens rota-akse tion.

I nogle tilfælde benævnes R
d
for afstand fra rotationsaksen og i andre (som med stangen i forrige afsnit) det erstattes af længde, L
. Symbolet I
bruges til træghetsmoment, og det har enheder på kg m ^2.

Som du måske forventer, baseret på det, du har lært indtil videre, er der mange forskellige ligninger for træghetsmoment, og hver henviser til en bestemt form og en bestemt rotationsakse. I alle tregheds øjeblikke vises udtrykket MR
^{2, skønt der for forskellige former er der forskellige fraktioner foran dette udtryk, og i nogle tilfælde kan der være flere udtryk sammenfattet.}

Komponenten MR
2 er treghedsmomentet for en punktmasse i en afstand R
fra rotationsaksen, og ligningen for et specifikt stift legeme er opbygget som en sum af punktmasser, eller ved at integrere et uendeligt antal små punktmasser over objektet.

Selvom det i nogle tilfælde kan være nyttigt at udlede momentets treghed af et objekt baseret på en simpel aritmetisk sum af punktmasser eller ved at integrere, i praksis er der mange resultater for almindelige former og rotationsakser, som du simpelthen kan bruge uden at skulle udlede det først:

Solid cylinder (symmetriakse):
I \u003d \\ frac {1} {2} MR ^ 2

Fast cylinder (akse med central diameter eller diameteren på det cirkulære tværsnit i midten af cylinderen):
I \u003d \\ frac {1} {4} MR ^ 2 + \\ frac {1} {12} ML ^ 2

Fast kugle (central akse):
I \u003d \\ frac {2} {5} MR ^ 2

Tynd kugleformet skal (central akse) ):
I \u003d \\ frac {2} {3} MR ^ 2

Hoop (symmetriakse, dvs. vinkelret gennem midten):
I \u003d MR ^ 2

Hoop (diameter akse, dvs. over diameteren af cirklen dannet af bøjlen):
I \u003d \\ frac {1} {2} MR ^ 2

Stang (midterste akse, vinkelret på stanglængden):
I \u003d \\ frac {1} {12} ML ^ 2

Stang (roterer om enden):
I \u003d \\ frac {1} {3} ML ^ 2 Rotation Inertia and Axis of Rotation -

Forstå hvorfor der er forskellige ligninger for hver rotationsakse er et vigtigt trin til at gribe ind i begrebet et træghetsmoment.

Tænk på en blyant: Du kan rotere den ved at dreje den rundt i midten, ved slutningen eller ved at dreje den rundt om sin centrale akse. Fordi et objekts roterende inerti afhænger af massens fordeling omkring rotationsaksen, er hver af disse situationer forskellige og kræver en separat ligning for at beskrive det.

Du kan få en instinktiv forståelse af begrebet træghetsmoment, hvis du skalerer det samme argument op til en 30-fods flagstang.

At dreje den ende over enden ville være meget vanskeligt - hvis du overhovedet kunne klare det - mens du snor polen omkring dens centrale akse ville være meget lettere. Dette skyldes, at drejningsmoment afhænger stærkt af afstanden fra rotationsaksen, og i eksemplet med 30 fods flagstang involverer at dreje den ende over enden hver ekstreme ende 15 fod væk fra rotationsaksen.

, hvis du snor det rundt om den centrale akse, er alt ret tæt på aksen. Situationen ligner meget at bære et tungt objekt i armlængde kontra holde det tæt på din krop, eller betjene en håndtag fra enden vs. tæt på hjulspidsen.

Derfor har du brug for en anden ligning til beskriv treghedsmomentet for det samme objekt afhængigt af rotationsaksen. Den akse, du vælger, påvirker, hvor langt dele af kroppen er fra rotationsaksen, selvom kroppens masse forbliver den samme.
Brug af ligningerne til treghetsmoment

Nøglen til beregning af træghetsmoment for en stiv krop er at lære at bruge og anvende de passende ligninger.

Overvej blyanten fra det foregående afsnit, idet den er spundet ende-over-ende omkring et centralt punkt langs dens længde. Selvom det ikke er en perfekt
stang (den spidse spids bryder f.eks. Denne form), kan den modelleres som sådan for at spare dig for at skulle gennemgå et fuld øjeblik med inertiafledning for objektet.

Så modellering af objektet som en stang, ville du bruge følgende ligning til at finde treghetsmomentet kombineret med blyantens samlede masse og længde:
I \u003d \\ frac {1} {12} ML ^ 2

En større udfordring er at finde træghetsmomentet for sammensatte genstande.

Overvej for eksempel to kugler, der er forbundet med en stang (som vi vil behandle som masseløse for at forenkle problemet). Kugle en er 2 kg og placeret 2 m væk fra rotationsaksen, og kugle to er 5 kg i masse og 3 m væk fra rotationsaksen.

I dette tilfælde kan du finde træghetsmomentet for dette sammensatte objekt ved at betragte hver bold som en punktmasse og arbejde ud fra den grundlæggende definition, som:
\\ begynde {rettet} I & \u003d m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 + m_3r_3 ^ 2…. \\\\ & \u003d \\ sum _ {\\ mathclap {i}} m_ir_i ^ 2 \\ end {alignet}

Med underskriptene er der ganske enkelt at skelne mellem forskellige objekter (dvs. kugle 1 og kugle 2). To-kugleobjektet vil derefter have:
\\ begynde {justeret} I & \u003d m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 \\\\ & \u003d 2 \\; \\ tekst {kg} × (2 \\; \\ tekst {m}) ^ 2 + 5 \\; \\ tekst {kg} × (3 \\; \\ tekst {m}) ^ 2 \\\\ & \u003d 8 \\; \\ tekst {kg m} ^ 2 + 45 \\; \\ tekst {kg m} ^ 2 \\\\ & \u003d 53 \\; \\ tekst {kg m} ^ 2 \\ ende {justeret} Momentet af inerti og bevarelse af vinkelmoment

Vinkelmomentum (rotationsanalogen for lineært momentum) er defineret som produktet af den roterende inerti (dvs. træghetsmomentet, I
) for objektet og dets vinkelhastighed ω
), der måles i grader /s eller rad /s.

Du vil uden tvivl være fortrolig med loven om bevarelse af lineær momentum, og kantet momentum bevares også på samme måde. Ligningen for vinkelmoment L
) er:
L \u003d Iω

At tænke over, hvad dette betyder i praksis, forklarer mange fysiske fænomener, fordi (i mangel af andre kræfter), jo højere er et objekt roterende inerti, jo lavere er dens vinkelhastighed.

Overvej en skøjteløber, der roterer med en konstant vinkelhastighed med udstrakte arme, og bemærk, at hans arme, der er udstrakt, øger radien R
som hans masse distribueres, hvilket fører til et større træghedsmoment, end hvis hans arme var tæt på hans krop.

Hvis L
_{1 beregnes med udstrakte arme, og L
2, efter at han har trukket sine arme ind skal have den samme værdi (fordi vinkelmomentum bevares), hvad sker der, hvis han mindsker sit træghetsmoment ved at trække i armene? Hans vinkelhastighed ω
øges for at kompensere.}

Katte udfører lignende bevægelser for at hjælpe dem med at lande på deres fødder, når de falder.

Ved at strække ben og hale ud øger de deres træghetsmoment og reducere hastigheden af deres rotation, og omvendt kan de trække benene ind for at mindske deres træghetsmoment og øge deres rotationshastighed. De bruger disse to strategier - sammen med andre aspekter af deres ”retningsrefleks” - for at sikre, at deres fødder lander først, og du kan se forskellige faser af krølning op og strække sig ud i time-lapse fotografier af en kat landing.
øjeblik af treghed og roterende kinetisk energi

Fortsætter parallellerne mellem lineær bevægelse og rotationsbevægelse, har objekter også roterende kinetisk energi på samme måde som de har lineær kinetisk energi.

Tænk på en kugle, der ruller over jorden, begge roterer omkring sin centrale akse og bevæger sig fremad på en lineær måde: Kuglens samlede kinetiske energi er summen af dens lineære kinetiske energi E
_{k og dens roterende kinetiske energi E
rådne. Parallellerne mellem disse to energier afspejles i ligningerne for begge, idet de husker, at et objekts treghedsmoment er rotationsanalogen af masse, og dens vinkelhastighed er rotationsanalogen med lineær hastighed v
):
E_k \u003d \\ frac {1} {2} mv ^ 2 E_ {rot} \u003d \\ frac {1} {2} Iω ^ 2}

Du kan tydeligt se, at begge ligninger har nøjagtig den samme form med de relevante rotationsanaloger erstattet med den roterende kinetiske energiligning.

Selvfølgelig, for at beregne den roterende kinetiske energi, skal du erstatte det passende udtryk for treghetsmomentet for objektet i rummet for I
. I betragtning af bolden og modellering af objektet som en solid kugle, er ligningen i dette tilfælde:
\\ begin {align} E_ {rot} & \u003d \\ bigg (\\ frac {2} {5} MR ^ 2 \\ bigg ) \\ frac {1} {2} ω ^ 2 \\\\ & \u003d \\ frac {1} {5} MR ^ 2 ω ^ 2 \\ end {alignet}

Den samlede kinetiske energi ( E
_{tot) er summen af dette og kuglens kinetiske energi, så du kan skrive:
\\ begynde {justert} E_ {tot} & \u003d E_k + E_ {rot} \\\\ & \u003d \\ frac {1} {2} Mv ^ 2 + \\ frac {1} {5} MR ^ 2 ω ^ 2 \\ ende {justeret}}

For en 1 kg kugle, der bevæger sig med en lineær hastighed på 2 m /s, med en radius på 0,3 m og med en vinkelhastighed på 2π rad /s ville den samlede energi være:
\\ begynde {justert} E_ {tot} & \u003d \\ frac {1} {2} 1 \\; \\ tekst {kg} × (2 \\; \\ tekst {m /s}) ^ 2 + \\ frac {1} {5} (1 \\; \\ tekst {kg} × (0,3 \\; \\ tekst {m}) ^ 2 × (2π \\; \\ tekst {rad /s}) ^ 2) \\\\ & \u003d 2 \\; \\ tekst {J} + 0,71 \\; \\ tekst {J} \\\\ & \u003d 2,71 \\; \\ tekst {J} \\ ende {justeret}

Afhængigt af situationen kan et objekt muligvis kun have lineær kinetisk energi (for eksempel en kugle faldet fra en højde uden nogen omdrejning tilført den) eller kun roterende kinetisk energi (en kugle, der roterer, men forbliver på plads).

Husk, at det er total og energi, der er konserveret. Hvis en kugle sparkes på en væg uden oprindelig rotation, og den springer tilbage med en lavere hastighed, men med et omdrejningspunk, såvel som den energi, der går tabt til lyd og varme, da den kom i kontakt, er en del af den oprindelige kinetiske energi blevet overført til kinetisk roterende energi, og det kan muligvis ikke bevæge sig så hurtigt, som det gjorde, før du sprang tilbage.