Schrodingers ligning: Forklaret og hvordan man bruger det

Schrodinger-ligningen er den mest grundlæggende ligning i kvantemekanik, og det er vigtigt for enhver spirende fysiker at lære, hvordan man bruger den, og hvad den betyder. Ligningen er opkaldt efter Erwin Schrödinger, der vandt Nobelprisen sammen med Paul Dirac i 1933 for deres bidrag til kvantefysik.

Schrodingers ligning beskriver bølgefunktionen i et kvantemekanisk system, der giver sandsynlige oplysninger om placering af en partikel og andre observerbare mængder såsom dens fart. Den vigtigste ting, du ved om kvantemekanik efter at have lært dig om ligningen, er, at lovene i kvanteområdet er meget forskellige fra klassisk mekanik.
Bølgefunktionen

Bølgefunktionen er en af de vigtigste begreber inden for kvantemekanik, fordi hver partikel er repræsenteret af en bølgefunktion. Det gives typisk det græske bogstav psi ( Ψ
), og det afhænger af position og tid. Når du har et udtryk for en partikels bølgefunktion, fortæller det dig alt, hvad der kan kendes om det fysiske system, og forskellige værdier for observerbare mængder kan opnås ved at anvende en operatør til det.

Firkanten af bølgefunktionens modul fortæller dig sandsynligheden for at finde partiklen i en position x
på et givet tidspunkt t
. Dette er kun tilfældet, hvis funktionen er "normaliseret", hvilket betyder, at summen af den firkantede modul over alle mulige placeringer skal være 1, dvs. at partiklen er bestemt
at være placeret et sted
.

Bemærk, at bølgefunktionen kun giver sandsynlige oplysninger, og at du derfor ikke kan forudsige resultatet af en enkelt observation, selvom du ikke kan bestemme gennemsnittet over mange målinger.

Du kan bruge bølgefunktionen til at beregne "forventningsværdien" for positionen af partiklen på tidspunktet t
, med forventningsværdien den gennemsnitlige værdi af x
dig ville fås, hvis du gentog målingen mange gange.

Igen fortæller dette ikke noget om en bestemt måling. Faktisk er bølgefunktionen mere en sandsynlighedsfordeling for en enkelt partikel end noget konkret og pålideligt. Ved at bruge den relevante operatør kan du også få forventningsværdier for momentum, energi og andre observerbare mængder.
Schrodinger-ligningen

Schrodinger-ligningen er lineær partiel differentialligning, der beskriver udviklingen af en kvantetilstand i på en lignende måde som Newtons love (især den anden lov) i klassisk mekanik.

Imidlertid er Schrodinger-ligningen en bølgeforligning for bølgefunktionen af den pågældende partikel, og dermed brugen af ligningen til forudsige den fremtidige tilstand af et system kaldes undertiden "bølgemekanik." Ligningen i sig selv stammer fra energibesparelse og er bygget op omkring en operatør kaldet Hamiltonian.

Den enkleste form af Schrodinger-ligningen til at nedskrive er:
H Ψ \u003d iℏ \\ frac {\\ parti}} {\\ delvis t}

Hvor ℏ er den reducerede Plancks konstant (dvs. konstanten divideret med 2π) og H
er den Hamiltonian operatør , hvilket svarer til summen af poten tialenergi og kinetisk energi (totalenergi) i kvantesystemet. Hamiltonian er selv et ret langt udtryk, så den fulde ligning kan skrives som:
- \\ frac {ℏ ^ 2} {2m} \\ frac {\\ partial ^ 2 Ψ} {\\ partial x ^ 2} + V (x) Ψ \u003d\u003d iℏ \\ frac {\\ partiel}} {\\ delvis t}

Bemærk, at nogle gange (til eksplicit tredimensionelle problemer) er den første partielle derivat skrevet som den laplaciske operator ∇ ^{2 . I det væsentlige fungerer Hamiltonian på bølgefunktionen for at beskrive dens udvikling i rum og tid. Men i den tidsuafhængige version af ligningen (dvs. når systemet ikke er afhængig af t
), giver Hamiltonianeren energien i systemet.}

At løse Schrodinger-ligningen betyder at finde den kvantemekaniske bølgefunktion, der tilfredsstiller den i en bestemt situation.
Den tidsafhængige Schrodinger-ligning

Den tidsafhængige Schrodinger-ligning er versionen fra det foregående afsnit, og den beskriver udviklingen af bølgen funktion for en partikel i tid og rum. En simpel sag at overveje er en fri partikel, fordi den potentielle energi V
\u003d 0, og løsningen har form af en plan bølge. Disse løsninger har formen:
Ψ \u003d Ae ^ {kx −ωt}

Hvor k
\u003d 2π / λ,
λ
er bølgelængden , og ω
\u003d E
/ℏ.

I andre situationer beskriver den potentielle energidel i den oprindelige ligning randbetingelserne for den rumlige del af bølgefunktionen, og den er ofte opdelt i en tidsudviklingsfunktion og en tidsuafhængig ligning.
Den tidsuafhængige Schrodinger ligning

Til statiske situationer eller løsninger, der danner stående bølger (såsom den potentielle brønd, " partikel i en kasse ”-løsninger), kan du opdele bølgefunktionen i tids- og rumdele:
Ψ (x, t) \u003d Ψ (x) f (t)

Når du gennemgår dette fuldt ud, tidsdelen kan annulleres, hvilket efterlader en form for Schrodinger-ligningen, der kun
afhænger af partiklens placering. Den tidsuafhængige bølgefunktion gives derefter af:
H Ψ (x) \u003d E Ψ (x)

Her E
er energien i det kvantemekaniske system, og H
er den Hamiltonian operatør. Denne form for ligningen har den nøjagtige form af en egenværdiligning, hvor bølgefunktionen er egenfunktionen, og energien er egenværdien, når den Hamiltonian-operatør påføres den. Ved at udvide Hamiltonian til en mere eksplicit form kan det skrives fuldt ud som:
- \\ frac {ℏ ^ 2} {2m} \\ frac {\\ partial ^ 2 Ψ} {\\ partial x ^ 2} + V ( x) Ψ \u003d E Ψ (x)

Tidens del af ligningen er indeholdt i funktionen:
f (t) \u003d e ^ {\\ frac {iEt} {ℏ}} Løsninger til tidsuafhængige Schrodinger ligning

Den tidsuafhængige Schrodinger ligning egner sig godt til temmelig ligetil løsninger, fordi den beskærer ligningens fulde form. Et perfekt eksempel på dette er “partiklen i en kasse” -gruppe af løsninger, hvor partiklen antages at være i et uendeligt kvadratpotentiale i en dimension, så der er nulpotentiale (dvs. V
\u003d 0) overalt, og der er ingen chance for, at partiklen findes uden for brønden.

Der er også en begrænset firkantet brønd, hvor potentialet ved brøndens "vægge" ikke er uendeligt, og selvom det er højere end partiklernes energi er der nogen mulighed for at finde partiklen uden for den på grund af kvantetunneling. For den uendelige potentialbrønde har løsningen formen:
Ψ (x) \u003d \\ sqrt {\\ frac {2} {L}} \\ sin \\ bigg (\\ frac {nπ} {L} x \\ bigg)

Hvor L
er brøndens længde.

Et deltafunktionspotentiale er et meget lignende koncept som den potentielle brønd, bortset fra at bredden L
går til nul (dvs. at være uendelig omkring et enkelt punkt) og dybden af brønden, der går til uendelig, mens produktet af de to ( U
Ψ (x) \u003d \\ frac {\\ sqrt {mU_0}} {ℏ} e ^ {- \\ frac {mU_0} {ℏ ^ 2} \\ vert x \\ vert}

Med energi:
E \u003d - \\ frac {mU_0 ^ 2} {2ℏ ^ 2} Hydrogenatomopløsning til Schrodinger-ligningen

Endelig har hydrogenatomopløsningen åbenlyse anvendelser til fysik i den virkelige verden, men i praksis kan situationen for en elektron omkring kernen i et brintatom ses som temmelig lig med de potentielle brøndproblemer. Situationen er imidlertid tredimensionel og beskrives bedst i sfæriske koordinater r
, θ
, ϕ
. Løsningen i dette tilfælde er givet af:
Ψ (x) \u003d NR_ {n, l} (r) P ^ m_ {l} (\\ cos θ) e ^ {imϕ}

Hvor P
er Legendre-polynomierne, R
er specifikke radiale løsninger, og N
er en konstant, du fikserer ved hjælp af det faktum, at bølgefunktionen skal normaliseres. Ligningen giver energiniveauer givet af:
E \u003d - \\ frac {\\ mu Z ^ 2e ^ 4} {8ϵ_0h ^ 2n ^ 2}

Hvor Z
her er atomnummeret (så Z
\u003d 1 for et hydrogenatom), e
i dette tilfælde er ladningen af et elektron (snarere end den konstante e
\u003d 2.7182818 ...), ϵ
_{0 er det frie rums permittivitet, og μ
er den reducerede masse, der er baseret på masserne af proton og elektron i et hydrogenatom. Dette udtryk er godt for ethvert brintlignende atom, hvilket betyder enhver situation (inklusive ioner), hvor der er en elektron, der kredser om en central kerne.}