Uendelig Løsningseliminering Metode

Når du starter med tre ligninger og tre ukendte (variabler), tror du måske, du har nok information til at løse for alle variablerne. Men når man løser et system af lineære ligninger ved hjælp af eliminationsmetoden, kan man opleve, at systemet ikke er tilstrækkeligt bestemt til at finde et unikt svar, og i stedet er et uendeligt antal løsninger muligt. Dette sker, når oplysningerne i en af ​​ligningerne i systemet er overflødige til oplysningerne i de andre ligninger.

Et 2x2 eksempel

3x + 2y = 5 6x + 4y = 10 Dette system af ligninger er klart overflødige. Du kan oprette en ligning fra den anden ved blot at multiplicere gennem en konstant. Med andre ord overfører de de samme oplysninger. På trods af at der er to ligninger for de to ukendte, x og y, kan løsningen af ​​dette system ikke indsnævres til en værdi for x og en værdi for y. (x, y) = (1,1) og (5 /3,0) begge løse det, ligesom mange flere løsninger. Dette er den slags "problem", denne manglende information, der fører til et uendeligt antal løsninger i større ligningssystemer.

Et 3x3 eksempel

x + y + z = 10 x-y + z = 0 x _ + _ z = 5 [Underscores bruges kun til at opretholde afstanden.] Ved elimineringsmetoden elimineres x fra den anden række ved at trække den anden række fra den første, hvilket giver x + y + z = 10 _2y = 10 x_ + z = 5 Eliminer x fra tredje række ved at trække den tredje række fra den første. x + y + z = 10 _2y = 10 y = 5 Det er klart, at de to sidste ligninger er ækvivalente. y er lig med 5, og den første ligning kan forenkles ved at eliminere y. x + 5 + z = 10 y __ = 5 eller x + z = 5 y = 5 Bemærk, at elimineringsmetoden ikke vil producere en flot trekantet form her, som det gør, når der er en unik løsning. I stedet vil den sidste ligning (hvis ikke mere) i sig selv blive absorberet i de andre ligninger. Systemet er nu af tre ukendte og kun to ligninger. Systemet kaldes "underdetermined", fordi der ikke er nok ligninger til at bestemme værdien af ​​alle variablerne. Et uendeligt antal løsninger er mulige.

Sådan skriver du den uendelige løsning

Den uendelige løsning til ovenstående system kan skrives i form af en variabel. En måde at skrive på er (x, y, z) = (x, 5,5-x). Da x kan tage et uendeligt antal værdier, kan løsningen tage et uendeligt antal værdier.