Sådan beregnes Eigenvectors

Det er nogle gange nødvendigt at finde en ikke-null vektor, der, når den multipliceres med en firkantet matrix, vil give os tilbage et flertal af vektoren. Denne ikke-nullvektor kaldes en "egenvektor". Eigenvektorer er ikke kun af interesse for matematikere, men også for andre i erhverv som fysik og teknik. For at beregne dem skal du forstå matrixalgebra og determinanter.

Lær og forstå definitionen af ​​en "egenvektor". Det findes for en n x n kvadratisk matrix A og også en skalær egenværdi kaldet "lambda". Lambda er repræsenteret ved det græske bogstav, men her forkortes det til L. Hvis der er en ikke-null vektor x hvor Axe = Lx, kaldes denne vektor x for "egenværdi af A."

Find egenværdierne af matrixen ved at bruge den karakteristiske ligning det (A - LI) = 0. "Det" står for determinanten, og "I" er identitetsmatrixen.

Beregn egenvektor for hver egen værdi ved at finde en eigenspace E (L), som er nullrummet for den karakteristiske ligning. De non-null-vektorer af E (L) er egenvektorer af A. Disse findes ved at sætte egenvektorerne tilbage i den karakteristiske matrix og finde grundlaget for A - LI = 0.

Øv trin 3 og 4 af studerer matrixen til venstre. Vist er en kvadratisk 2 x 2 matrix.

Beregn egenværdierne ved hjælp af den karakteristiske ligning. Det (A - LI) er (3 - L) (3 - L) - 1 = L ^ 2 - 6L + 8 = 0, hvilket er det karakteristiske polynom. Løsning af dette algebraisk giver os L1 = 4 og L2 = 2, som er egenværdierne i vores matrix.

Find egenvektor for L = 4 ved at beregne nullrummet. Gør dette ved at placere L1 = 4 i den karakteristiske matrix og finde grundlaget for A - 4I = 0. Løsning af dette finder vi x - y = 0 eller x = y. Dette har kun en uafhængig løsning, da de er lige, som x = y = 1. Derfor er v1 = (1,1) en egenvektor der spænder over egenskaben af ​​L1 = 4.

Gentag trin 6 til find egenvektor for L2 = 2. Vi finder x + y = 0 eller x = --y. Dette har også en uafhængig løsning, siger x = - 1 og y = 1. Derfor er v2 = (--1,1) en egenvektor der spænder over egenskaben af ​​L2 = 2.