Forstå gensidigt inkluderende begivenheder i sandsynlighed

Af Carlton Stocke | 29. juni 2023 kl. 12.35 EST

I sandsynlighedsteori er en gensidigt udelukkende begivenhedspar kan aldrig forekomme sammen - f.eks. opnå hoveder og haler på et enkelt møntskift. Omvendt en gensidigt inkluderende par kan forekomme samtidigt, såsom at trække et kort, der både er en spar og en konge.

Visualisering af disse relationer med et Venn-diagram tydeliggør distinktionen:gensidigt ekskluderende begivenheder optager usammenhængende regioner, hvorimod gensidigt inkluderende begivenheder overlapper hinanden, hvilket giver anledning til en skæringssandsynlighed, der ikke er nul.

TL;DR

Gensidigt udelukkende begivenheder er usammenhængende; gensidigt inkluderende begivenheder overlapper hinanden.

Praktisk eksempel:Tegning af et kort

Overvej et standardkort med 52 kort. Sandsynligheden for at trække et sort kort er 26/52. Sandsynligheden for at tegne en konge er 4/52. Fordi sorte konger findes i begge farver, har den kombinerede begivenhed "sort kort eller konge" en sandsynlighed på 28/52:26/52 (sort) plus 2/52 (røde konger) er lig med 28/52.

Generelt er sandsynligheden for, at enten hændelse A eller hændelse B indtræffer:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

For gensidigt udelukkende hændelser er P(A ∩ B) =0, hvilket forenkler formlen. For gensidigt inkluderende begivenheder skal skæringsleddet trækkes fra for at undgå dobbelttælling.

Afhængige vs. uafhængige begivenheder

Formlen ovenfor antager uafhængighed. Når hændelser er afhængige - den ene hændelse ændrer sandsynligheden for den anden - skal beregningen tage højde for de ændrede sandsynligheder. For eksempel kræver det at trække et rødt kort eller en konge to gange i træk, at man justerer sandsynligheden for det andet træk, fordi bunkens størrelse ændres.

I praksis er gensidigt udelukkende begivenheder altid afhængige (den ene kan ikke ske, hvis den anden gør det). Gensidigt inkluderende begivenheder kan være uafhængige eller afhængige, og deres overordnede sandsynlighed afhænger af dette forhold.